Номер 3, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите верное равенство.

1) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)\left(x - \frac{5}{6}\right)$

2) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)\left(x + \frac{5}{6}\right)$

3) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(6x - 5)$

4) $6x^2 - x - 5 = (x - 1)(6x + 5)$

Чтобы найти верное равенство, разложим на множители квадратный трехчлен $6x^2 - x - 5$. Для этого можно найти его корни и использовать формулу разложения, либо проверить каждый из предложенных вариантов, раскрыв скобки.

Метод 1: Разложение трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ на множители имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

1. Решим уравнение $6x^2 - x - 5 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 1 + 120 = 121$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{1 + 11}{12} = \frac{12}{12} = 1$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{1 - 11}{12} = \frac{-10}{12} = -\frac{5}{6}$.

2. Подставим корни в формулу разложения:

$6x^2 - x - 5 = 6(x - 1)(x - (-\frac{5}{6})) = 6(x - 1)(x + \frac{5}{6})$.

3. Преобразуем полученное выражение, внеся множитель 6 во вторую скобку:

$6(x - 1)(x + \frac{5}{6}) = (x - 1) \cdot (6 \cdot x + 6 \cdot \frac{5}{6}) = (x - 1)(6x + 5)$.

Таким образом, верное равенство представлено в пункте 4.

Метод 2: Проверка каждого равенства раскрытием скобок

1) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(x - \frac{5}{6})$

Раскроем скобки в правой части: $(x + 1)(x - \frac{5}{6}) = x^2 - \frac{5}{6}x + x - \frac{5}{6} = x^2 + \frac{1}{6}x - \frac{5}{6}$. Выражение не совпадает с исходным.

Ответ: неверно.

2) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(x + \frac{5}{6})$

Раскроем скобки: $(x + 1)(x + \frac{5}{6}) = x^2 + \frac{5}{6}x + x + \frac{5}{6} = x^2 + \frac{11}{6}x + \frac{5}{6}$. Выражение не совпадает с исходным.

Ответ: неверно.

3) $6x^2 - x - 5 = (x + 1)(6x - 5)$

Раскроем скобки: $(x + 1)(6x - 5) = 6x^2 - 5x + 6x - 5 = 6x^2 + x - 5$. Выражение не совпадает с исходным (ошибка в знаке при $x$).

Ответ: неверно.

4) $6x^2 - x - 5 = (x - 1)(6x + 5)$

Раскроем скобки: $(x - 1)(6x + 5) = 6x^2 + 5x - 6x - 5 = 6x^2 - x - 5$. Выражение полностью совпадает с исходным.

Ответ: верно.