Номер 10, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) - 14 = 0.$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной, так как выражение $(x^2 + 6x)$ повторяется.

1. Введем замену. Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 5t - 14 = 0$

2. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

3. Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$, чтобы найти корни исходного уравнения $x$.

Случай 1: $t = 7$

Возвращаемся к замене $x^2 + 6x = t$:

$x^2 + 6x = 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим его. Найдем дискриминант $D_1$:

$D_1 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни $x_{1,2}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Случай 2: $t = -2$

Возвращаемся к замене $x^2 + 6x = t$:

$x^2 + 6x = -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x + 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D_2$:

$D_2 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$

Так как $D_2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2\sqrt{7}}{2} = -3 + \sqrt{7}$

$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2\sqrt{7}}{2} = -3 - \sqrt{7}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-7; -3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7}; 1$.