Номер 4, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. На одном из приведённых рисунков изображён график функции $y = \frac{4 + 3x - x^2}{x+1}$. Укажите этот рисунок.

1) 2) 3) 4)

Рассмотрим функцию $y = \frac{4 + 3x - x^2}{x + 1}$.

Сначала найдём область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$. Это означает, что на графике функции в точке с абсциссой $x=-1$ будет разрыв, то есть "выколотая" точка.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель $4 + 3x - x^2$ на множители. Для этого решим квадратное уравнение $-x^2 + 3x + 4 = 0$. Умножим обе части на -1, чтобы получить $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Таким образом, числитель можно представить в виде: $-x^2 + 3x + 4 = -(x - 4)(x - (-1)) = -(x-4)(x+1) = (4-x)(x+1)$.

Подставим разложенный числитель обратно в исходную функцию: $y = \frac{(4 - x)(x + 1)}{x + 1}$.

При условии, что $x \neq -1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 1)$: $y = 4 - x$.

Итак, график исходной функции является прямой $y = 4 - x$ с выколотой точкой при $x = -1$.

Найдем координаты этой выколотой точки. Абсцисса нам известна: $x = -1$. Чтобы найти ординату, подставим это значение в уравнение прямой $y = 4 - x$: $y = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$. Следовательно, выколотая точка имеет координаты $(-1, 5)$.

Теперь проанализируем предложенные графики. Нам нужна убывающая прямая (угловой коэффициент в уравнении $y = -1 \cdot x + 4$ равен -1), на которой выколота точка $(-1, 5)$.
- Графики 1 и 2 изображают возрастающие прямые, поэтому они не подходят.
- График 3 изображает убывающую прямую, но она сплошная, без выколотых точек.
- График 4 изображает убывающую прямую, и на ней есть выколотая точка. Проверим её координаты по рисунку: абсцисса равна -1, ордината равна 5. Это полностью соответствует нашим расчетам.

Следовательно, искомый график изображён на рисунке 4.
Ответ: 4