Номер 2, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Разложив квадратный трёхчлен на множители, получили: $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$. Найдите значение $a$.

1) 5

2) -5

3) 10

4) -10

Для нахождения значения a в равенстве $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$ можно использовать несколько подходов.

Способ 1: Раскрытие скобок и сравнение коэффициентов

Раскроем скобки в правой части данного тождества:

$(x - 7)(x - a) = x \cdot x - x \cdot a - 7 \cdot x + (-7) \cdot (-a) = x^2 - ax - 7x + 7a$.

Сгруппируем члены, содержащие x:

$x^2 - (a + 7)x + 7a$.

Теперь мы имеем равенство двух многочленов:

$x^2 - 2x - 35 = x^2 - (a + 7)x + 7a$.

Это равенство будет верным для любого значения x только в том случае, если коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях равны. Приравняем свободные члены (константы):

$7a = -35$.

Отсюда находим a:

$a = \frac{-35}{7} = -5$.

Для проверки можно также приравнять коэффициенты при первой степени x:

$-2 = -(a + 7)$, что равносильно $2 = a + 7$.

Отсюда также получаем $a = 2 - 7 = -5$.

Способ 2: Использование теоремы Виета

Разложение квадратного трёхчлена на множители $x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)$ означает, что $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $x^2 + px + q = 0$.

В нашем случае из разложения $x^2 - 2x - 35 = (x - 7)(x - a)$ следует, что корнями уравнения $x^2 - 2x - 35 = 0$ являются числа $x_1 = 7$ и $x_2 = a$.

По теореме Виета, произведение корней приведенного квадратного уравнения равно его свободному члену. Свободный член в нашем уравнении равен -35.

Следовательно, $x_1 \cdot x_2 = -35$.

Подставим известные значения корней:

$7 \cdot a = -35$.

Разделив обе части на 7, получим:

$a = -5$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: -5.