Номер 3, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите верное равенство.

1) $3x^2 + x - 10 = \left(x - \frac{5}{3}\right)(x + 2)$

2) $3x^2 + x - 10 = \left(x + \frac{5}{3}\right)(x - 2)$

3) $3x^2 + x - 10 = (3x - 5)(x + 2)$

4) $3x^2 + x - 10 = (3x + 5)(x - 2)$

Для определения верного равенства можно разложить квадратный трехчлен $3x^2 + x - 10$ на множители. Для этого необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + x - 10 = 0$.

1. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-10) = 1 + 120 = 121$.

2. Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 11}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 11}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

3. Разложим трехчлен на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:

$3x^2 + x - 10 = 3(x - (-2))(x - \frac{5}{3}) = 3(x + 2)(x - \frac{5}{3})$.

Чтобы избавиться от дроби, внесем множитель 3 в скобку $(x - \frac{5}{3})$, получим: $3(x - \frac{5}{3}) = 3x - 5$.

Таким образом, разложение имеет вид $(3x - 5)(x + 2)$.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $3x^2 + x - 10 = (x - \frac{5}{3})(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(x - \frac{5}{3})(x + 2) = x^2 + 2x - \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} = x^2 + \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.

2) $3x^2 + x - 10 = (x + \frac{5}{3})(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(x + \frac{5}{3})(x - 2) = x^2 - 2x + \frac{5}{3}x - \frac{10}{3} = x^2 - \frac{1}{3}x - \frac{10}{3}$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.

3) $3x^2 + x - 10 = (3x - 5)(x + 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(3x - 5)(x + 2) = 3x^2 + 6x - 5x - 10 = 3x^2 + x - 10$. Полученное выражение совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

4) $3x^2 + x - 10 = (3x + 5)(x - 2)$

Раскроем скобки в правой части равенства: $(3x + 5)(x - 2) = 3x^2 - 6x + 5x - 10 = 3x^2 - x - 10$. Полученное выражение не равно $3x^2 + x - 10$.

Ответ: равенство неверно.