Номер 7, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 + 3x - 40}{x^2 + 6x - 16}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Оба являются квадратными трехчленами вида $ax^2+bx+c$, которые раскладываются на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Разложение числителя на множители

Рассмотрим числитель $x^2 + 3x - 40$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, разложение числителя на множители имеет вид:

$x^2 + 3x - 40 = (x - (-8))(x - 5) = (x + 8)(x - 5)$.

Разложение знаменателя на множители

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 6x - 16$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, разложение знаменателя на множители имеет вид:

$x^2 + 6x - 16 = (x - (-8))(x - 2) = (x + 8)(x - 2)$.

Сокращение дроби

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 3x - 40}{x^2 + 6x - 16} = \frac{(x + 8)(x - 5)}{(x + 8)(x - 2)}$.

Сократим общий множитель $(x + 8)$, при условии, что он не равен нулю ($x \neq -8$):

$\frac{\cancel{(x + 8)}(x - 5)}{\cancel{(x + 8)}(x - 2)} = \frac{x - 5}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{x - 5}{x - 2}$.