Страница 147 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Сократите дробь $\frac{x^2 + 3x - 40}{x^2 + 6x - 16}$.

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Оба являются квадратными трехчленами вида $ax^2+bx+c$, которые раскладываются на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения.

Разложение числителя на множители

Рассмотрим числитель $x^2 + 3x - 40$. Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 40 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 9 + 160 = 169 = 13^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 13}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 13}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Таким образом, разложение числителя на множители имеет вид:

$x^2 + 3x - 40 = (x - (-8))(x - 5) = (x + 8)(x - 5)$.

Разложение знаменателя на множители

Рассмотрим знаменатель $x^2 + 6x - 16$. Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 16 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - 10}{2} = \frac{-16}{2} = -8$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Таким образом, разложение знаменателя на множители имеет вид:

$x^2 + 6x - 16 = (x - (-8))(x - 2) = (x + 8)(x - 2)$.

Сокращение дроби

Теперь подставим полученные разложения в исходную дробь:

$\frac{x^2 + 3x - 40}{x^2 + 6x - 16} = \frac{(x + 8)(x - 5)}{(x + 8)(x - 2)}$.

Сократим общий множитель $(x + 8)$, при условии, что он не равен нулю ($x \neq -8$):

$\frac{\cancel{(x + 8)}(x - 5)}{\cancel{(x + 8)}(x - 2)} = \frac{x - 5}{x - 2}$.

Ответ: $\frac{x - 5}{x - 2}$.

8. Решите уравнение $x - \frac{24}{x} = 10$.

Исходное уравнение: $x - \frac{24}{x} = 10$.

Это дробно-рациональное уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется условием, что знаменатель дроби не равен нулю. В данном случае $x \neq 0$.

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на $x$:

$x \cdot x - \frac{24}{x} \cdot x = 10 \cdot x$

$x^2 - 24 = 10x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 10x - 24 = 0$

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней через дискриминант. Воспользуемся вторым способом.

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=1$, $b=-10$, $c=-24$:

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Так как дискриминант $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-10) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$x_2 = \frac{-(-10) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Оба найденных корня ($12$ и $-2$) не равны нулю, следовательно, они удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $-2; 12$.

9. Решите уравнение $\frac{2x^2 + 8x + 6}{x^2 - 9} = 1$.

Исходное уравнение:

$$ \frac{2x^2 + 8x + 6}{x^2 - 9} = 1 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:

$$ x^2 - 9 \neq 0 $$

Разложим знаменатель на множители по формуле разности квадратов:

$$ (x - 3)(x + 3) \neq 0 $$

Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части уравнения на знаменатель $(x^2 - 9)$, при условии, что он не равен нулю (что мы учли в ОДЗ):

$$ 2x^2 + 8x + 6 = 1 \cdot (x^2 - 9) $$

$$ 2x^2 + 8x + 6 = x^2 - 9 $$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$$ 2x^2 - x^2 + 8x + 6 + 9 = 0 $$

$$ x^2 + 8x + 15 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу корней. По теореме Виета, сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $15$. Подбором находим корни:

$$ x_1 = -5 $$

$$ x_2 = -3 $$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq 3$ и $x \neq -3$).

Корень $x_1 = -5$ удовлетворяет ОДЗ.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Следовательно, $x = -3$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: -5

10. Найдите корни уравнения

$(x^2 + 6x)^2 - 5(x^2 + 6x) - 14 = 0.$

Данное уравнение решается методом введения новой переменной, так как выражение $(x^2 + 6x)$ повторяется.

1. Введем замену. Пусть $t = x^2 + 6x$. Тогда исходное уравнение можно переписать в виде квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 - 5t - 14 = 0$

2. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

3. Теперь выполним обратную замену для каждого из найденных значений $t$, чтобы найти корни исходного уравнения $x$.

Случай 1: $t = 7$

Возвращаемся к замене $x^2 + 6x = t$:

$x^2 + 6x = 7$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 6x - 7 = 0$

Решим его. Найдем дискриминант $D_1$:

$D_1 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Найдем корни $x_{1,2}$:

$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Случай 2: $t = -2$

Возвращаемся к замене $x^2 + 6x = t$:

$x^2 + 6x = -2$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 + 6x + 2 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D_2$:

$D_2 = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$

Так как $D_2 > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_3 = \frac{-6 + \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 2\sqrt{7}}{2} = -3 + \sqrt{7}$

$x_4 = \frac{-6 - \sqrt{28}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 2\sqrt{7}}{2} = -3 - \sqrt{7}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-7; -3 - \sqrt{7}; -3 + \sqrt{7}; 1$.

11. Турист прошёл 13 км за 3 ч. Первые 8 км он прошёл с определённой скоростью, а остальную часть пути — со скоростью, на 1 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость туриста.

Пусть первоначальная скорость туриста равна $v$ км/ч. Тогда скорость на остальной части пути была $(v + 1)$ км/ч.

Время, затраченное на первые 8 км, составляет $t_1 = \frac{8}{v}$ ч.

Оставшаяся часть пути равна $13 - 8 = 5$ км. Время, затраченное на эту часть пути, составляет $t_2 = \frac{5}{v + 1}$ ч.

Общее время в пути — 3 часа. Составим и решим уравнение, сложив время, затраченное на каждый участок:

$t_1 + t_2 = 3$

$\frac{8}{v} + \frac{5}{v + 1} = 3$

Приведём дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v + 1)$ и умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей. При этом учтём, что скорость $v$ должна быть больше нуля ($v > 0$).

$8(v + 1) + 5v = 3v(v + 1)$

Раскроем скобки:

$8v + 8 + 5v = 3v^2 + 3v$

Перенесём все члены уравнения в одну сторону и приведём подобные слагаемые, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3v^2 + 3v - 13v - 8 = 0$

$3v^2 - 10v - 8 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$a = 3, b = -10, c = -8$

$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдём их по формуле $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$v_1 = \frac{10 + \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$

$v_2 = \frac{10 - \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 14}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$

По смыслу задачи скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -\frac{2}{3}$ не подходит.

Следовательно, первоначальная скорость туриста равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

12. Первая труба пропускает на 10 л воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом 60 л она заполняет на 3 мин дольше, чем вторая?

Пусть $x$ л/мин — производительность (скорость пропускания воды) первой трубы.

По условию, первая труба пропускает на 10 л воды в минуту меньше, чем вторая. Следовательно, производительность второй трубы составляет $(x + 10)$ л/мин.

Время, необходимое для заполнения резервуара объемом 60 л, вычисляется по формуле $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объем, а $P$ — производительность.

Время заполнения резервуара первой трубой: $t_1 = \frac{60}{x}$ мин.

Время заполнения резервуара второй трубой: $t_2 = \frac{60}{x+10}$ мин.

Известно, что первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая. Это можно выразить уравнением:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{60}{x} - \frac{60}{x+10} = 3$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+10)$. Область допустимых значений переменной $x > 0$, так как производительность не может быть отрицательной или равной нулю.

$\frac{60(x+10) - 60x}{x(x+10)} = 3$

$\frac{60x + 600 - 60x}{x^2 + 10x} = 3$

$\frac{600}{x^2 + 10x} = 3$

Используя основное свойство пропорции, получаем:

$3(x^2 + 10x) = 600$

Разделим обе части уравнения на 3:

$x^2 + 10x = 200$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 10x - 200 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 100 + 800 = 900$

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 30}{2}$

$x_1 = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Так как производительность трубы $x$ не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -20$ не удовлетворяет условию задачи.

Следовательно, производительность первой трубы составляет 10 л/мин.

Ответ: 10