Страница 144 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Решите уравнение $(6x + 1)^2 = 5 + 19x + 21x^2$.

Для решения данного уравнения сначала раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(6x + 1)^2 = (6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 1 + 1^2 = 36x^2 + 12x + 1$

Теперь подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$36x^2 + 12x + 1 = 5 + 19x + 21x^2$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

$36x^2 + 12x + 1 - 21x^2 - 19x - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(36x^2 - 21x^2) + (12x - 19x) + (1 - 5) = 0$

$15x^2 - 7x - 4 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$, где $a=15$, $b=-7$, $c=-4$.

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-4) = 49 + 240 = 289$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{289} = 17$

$x_1 = \frac{-(-7) + 17}{2 \cdot 15} = \frac{7 + 17}{30} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

$x_2 = \frac{-(-7) - 17}{2 \cdot 15} = \frac{7 - 17}{30} = \frac{-10}{30} = -\frac{1}{3}$

Ответ: $x_1 = \frac{4}{5}$; $x_2 = -\frac{1}{3}$.

9. Произведение двух последовательных натуральных чётных чисел равно 528. Найдите сумму этих чисел.

Пусть меньшее из двух последовательных натуральных чётных чисел равно $x$. Тогда следующее за ним чётное число будет $x + 2$.

По условию задачи, произведение этих чисел равно 528. Составим уравнение:
$x(x + 2) = 528$

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 2x = 528$
$x^2 + 2x - 528 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-528) = 4 + 2112 = 2116$

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$\sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46$
$x_1 = \frac{-2 + 46}{2} = \frac{44}{2} = 22$
$x_2 = \frac{-2 - 46}{2} = \frac{-48}{2} = -24$

Так как в задаче речь идёт о натуральных числах, которые являются положительными, корень $x_2 = -24$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, первое число равно 22.

Второе число равно $x + 2 = 22 + 2 = 24$.
Искомые числа — это 22 и 24.

Найдём их сумму:
$22 + 24 = 46$

Ответ: 46

10. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны $\sqrt{10}$ и $-\sqrt{40}$.

Для составления квадратного уравнения по его известным корням $x_1$ и $x_2$ удобно использовать теорему, обратную теореме Виета. Согласно этой теореме, искомое приведенное квадратное уравнение ($ax^2+bx+c=0$, где $a=1$) будет иметь вид:

$x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$

В нашем случае корни уравнения:

$x_1 = \sqrt{10}$

$x_2 = -\sqrt{40}$

Выполним необходимые вычисления по шагам.

Шаг 1: Найти сумму корней $x_1 + x_2$

Для удобства вычислений сначала упростим корень $\sqrt{40}$:

$\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Теперь найдем сумму корней:

$x_1 + x_2 = \sqrt{10} + (-\sqrt{40}) = \sqrt{10} - 2\sqrt{10} = -\sqrt{10}$

Шаг 2: Найти произведение корней $x_1 \cdot x_2$

Теперь найдем произведение корней:

$x_1 \cdot x_2 = \sqrt{10} \cdot (-\sqrt{40}) = -\sqrt{10 \cdot 40} = -\sqrt{400} = -20$

Шаг 3: Составить квадратное уравнение

Подставим найденные значения суммы и произведения корней в общую формулу $x^2 - (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$:

$x^2 - (-\sqrt{10})x + (-20) = 0$

Упростив знаки, получаем окончательный вид уравнения:

$x^2 + \sqrt{10}x - 20 = 0$

Ответ: $x^2 + \sqrt{10}x - 20 = 0$

11. При каких значениях переменной не имеет смысл выражение $\frac{1}{x^2 - 16} + \frac{1}{x^2 + x - 12}$?

Данное выражение представляет собой сумму двух алгебраических дробей. Выражение не имеет смысла в том случае, если знаменатель хотя бы одной из этих дробей равен нулю, так как деление на ноль не определено.

Чтобы найти значения переменной, при которых выражение не имеет смысла, нужно найти корни уравнений, которые получаются, если приравнять каждый знаменатель к нулю.

1. Приравняем к нулю знаменатель первой дроби:

$x^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Разложим левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 4)(x + 4) = 0$

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

$x - 4 = 0 \Rightarrow x_1 = 4$

$x + 4 = 0 \Rightarrow x_2 = -4$

2. Приравняем к нулю знаменатель второй дроби:

$x^2 + x - 12 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$ с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_3 + x_4 = -1$

$x_3 \cdot x_4 = -12$

Методом подбора находим корни: $x_3 = 3$ и $x_4 = -4$.

Объединяем все найденные значения переменной $x$, при которых один из знаменателей обращается в ноль. Это значения $4$, $-4$ и $3$. При этих значениях $x$ исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: $-4; 3; 4$.

12. Решите уравнение

$x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 36 = 0.$

Данное уравнение: $x^2 - 5(\sqrt{x})^2 - 36 = 0$.

В первую очередь, определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении есть квадратный корень из переменной $x$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$x \ge 0$.

Далее, упростим уравнение. По определению, для любого $x \ge 0$ справедливо равенство $(\sqrt{x})^2 = x$. Подставим это в исходное уравнение:

$x^2 - 5x - 36 = 0$.

Получилось стандартное квадратное уравнение. Решим его, найдя корни через дискриминант.

Для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

В нашем случае $a = 1$, $b = -5$, $c = -36$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 9$ удовлетворяет условию $9 \ge 0$.

Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет условию $-4 \ge 0$, поэтому он является посторонним корнем.

Следовательно, исходное уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 9.