Страница 146 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

5. От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 240 км, отправился первый катер. Через 3 ч после этого следом за ним со скоростью, на 4 км/ч большей, отправился второй катер. К пристани В оба катера прибыли одновременно. Пусть скорость первого катера равна $x$ км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{240}{x} - \frac{240}{x - 4} = 3$

2) $\frac{240}{x - 4} - \frac{240}{x} = 3$

3) $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 4} = 3$

4) $\frac{240}{x + 4} - \frac{240}{x} = 3$

Для решения задачи составим уравнение, описывающее движение двух катеров. Обозначим основные величины:

• $S = 240$ км – расстояние между пристанями А и В.
• $x$ км/ч – скорость первого катера (согласно условию).
• $(x + 4)$ км/ч – скорость второго катера, так как она на 4 км/ч больше скорости первого.

Время движения для каждого катера можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $t$ – время, $S$ – расстояние, $v$ – скорость.

Время, затраченное первым катером на весь путь, равно:

$t_1 = \frac{240}{x}$ ч.

Время, затраченное вторым катером на весь путь, равно:

$t_2 = \frac{240}{x+4}$ ч.

Из условия известно, что первый катер вышел на 3 часа раньше второго, и оба прибыли в пункт В одновременно. Это означает, что время движения первого катера было на 3 часа больше, чем время движения второго катера. Таким образом, мы можем составить следующее уравнение:

$t_1 - t_2 = 3$

Подставив в это уравнение выражения для $t_1$ и $t_2$, получим математическую модель данной ситуации:

$\frac{240}{x} - \frac{240}{x+4} = 3$

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

Множество корней

A) $\frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9} = 0$

Б) $(\sqrt{x} - 2)(x^2 - 8x - 9) = 0$

В) $\frac{x - 2}{x^2 + 8x - 20} = 0$

1) $\{-1, 4, 9\}$

2) $\{4, 9\}$

3) $\{2\}$

4) $\{2, 9\}$

5) $\emptyset$

А) Решим уравнение $ \frac{x^2 - 11x + 18}{x - 9} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это условие можно записать в виде системы:

$ \begin{cases} x^2 - 11x + 18 = 0 \\ x - 9 \neq 0 \end{cases} $

Сначала решим квадратное уравнение $ x^2 - 11x + 18 = 0 $. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $ x_1 + x_2 = 11 $
• Произведение корней: $ x_1 \cdot x_2 = 18 $

Подбором находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 9 $.

Теперь проверим второе условие системы: $ x - 9 \neq 0 $, то есть $ x \neq 9 $.

Корень $ x_2 = 9 $ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Единственным решением уравнения является $ x = 2 $.

Таким образом, множество корней уравнения: {2}. Это соответствует варианту 3).

Ответ: 3.

Б) Решим уравнение $ (\sqrt{x} - 2)(x^2 - 8x - 9) = 0 $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется из-за наличия квадратного корня: $ x \ge 0 $.

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом имеет смысл. Рассмотрим два случая:

1) $ \sqrt{x} - 2 = 0 $

$ \sqrt{x} = 2 $

Возведя обе части в квадрат, получаем $ x = 4 $. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ 4 \ge 0 $).

2) $ x^2 - 8x - 9 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100 $

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2} $

Находим два корня:

$ x_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 $

$ x_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x \ge 0 $):

• $ x_1 = 9 $ удовлетворяет условию ($ 9 \ge 0 $).
• $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию ($ -1 < 0 $), поэтому это посторонний корень.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем корни уравнения: 4 и 9.

Таким образом, множество корней уравнения: {4, 9}. Это соответствует варианту 2).

Ответ: 2.

В) Решим уравнение $ \frac{x - 2}{x^2 + 8x - 20} = 0 $.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ x^2 + 8x - 20 \neq 0 \end{cases} $

Из первого уравнения находим потенциальный корень: $ x = 2 $.

Теперь подставим это значение в знаменатель, чтобы проверить второе условие:

$ (2)^2 + 8(2) - 20 = 4 + 16 - 20 = 20 - 20 = 0 $.

Так как при $ x = 2 $ знаменатель обращается в ноль, это значение не является решением уравнения. Других потенциальных корней нет.

Следовательно, уравнение не имеет корней.

Таким образом, множество корней уравнения – пустое множество ($ \emptyset $). Это соответствует варианту 5).

Ответ: 5.