Страница 141 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен старший коэффициент уравнения

$12x + 4 + x^2 = 0$?

1) 12

2) -12

3) 1

4) -1

Старший коэффициент уравнения — это коэффициент при переменной в самой высокой степени. Чтобы его найти, нужно сначала записать уравнение в стандартном виде, то есть расположить его члены в порядке убывания степеней переменной.

Дано уравнение: $12x + 4 + x^2 = 0$.

Определим степени каждого члена:

• Степень члена $x^2$ равна 2.
• Степень члена $12x$ (или $12x^1$) равна 1.
• Степень члена $4$ (или $4x^0$) равна 0.

Самая высокая степень в этом уравнении — 2. Теперь запишем уравнение в стандартном виде, начиная с члена с самой высокой степенью:

$x^2 + 12x + 4 = 0$

Старший коэффициент — это число, стоящее перед $x^2$. В данном случае член $x^2$ можно представить как $1 \cdot x^2$. Следовательно, старший коэффициент равен 1.

Среди предложенных вариантов ответа (12, -12, 1, -1) правильным является вариант 3.

Ответ: 1

2. При каком значении $a$ корнем уравнения $ax^2 + 2x + 20 = 0$ является число $-5$?

1) 0,4

2) -0,4

3) 1,2

4) -1,2

По условию задачи, число $-5$ является корнем уравнения. Это значит, что если подставить $x = -5$ в уравнение $ax^2 + 2x + 20 = 0$, то получится верное равенство.

Выполним подстановку:

$a \cdot (-5)^2 + 2 \cdot (-5) + 20 = 0$

Теперь упростим полученное выражение:

$a \cdot 25 - 10 + 20 = 0$

$25a + 10 = 0$

Мы получили линейное уравнение относительно $a$. Решим его, чтобы найти искомое значение:

$25a = -10$

$a = \frac{-10}{25}$

Сократим дробь на 5:

$a = -\frac{2}{5}$

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$a = -0,4$

Это значение соответствует варианту ответа 2).

Ответ: -0,4.

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных иррациональных числа.

1) $x^2 - 4 = 0$

2) $x^2 - 4x = 0$

3) $x^2 - 2 = 0$

4) $x^2 - 2x = 0$

Чтобы определить, какое из уравнений имеет два противоположных иррациональных корня, необходимо найти корни каждого уравнения и проверить, удовлетворяют ли они заданным условиям. Два числа являются противоположными, если их сумма равна нулю (например, $a$ и $-a$). Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде простой дроби (например, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$).

1) $x^2 - 4 = 0$

Решим уравнение, перенеся 4 в правую часть:

$x^2 = 4$

Извлекая квадратный корень, получаем два корня:

$x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Корни являются противоположными, но они рациональные (целые) числа. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 4) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем корни:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Эти корни не являются противоположными, так как их сумма $0 + 4 = 4$, а не 0. Этот вариант не подходит.

3) $x^2 - 2 = 0$

Решим уравнение, перенеся 2 в правую часть:

$x^2 = 2$

Извлекая квадратный корень, получаем два корня:

$x_1 = \sqrt{2}$ и $x_2 = -\sqrt{2}$.

Корни $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ являются противоположными, так как их сумма $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$. Так как 2 не является полным квадратом, $\sqrt{2}$ — иррациональное число. Таким образом, оба корня являются противоположными и иррациональными. Этот вариант подходит.

4) $x^2 - 2x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 2) = 0$

Корни этого уравнения:

$x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти корни не являются противоположными. Этот вариант не подходит.

Итак, единственное уравнение, удовлетворяющее всем условиям, — это $x^2 - 2 = 0$.

Ответ: 3

4. Дискриминант какого из данных уравнений равен 25?

1) $x^2 - 3x + 4 = 0$

2) $3x^2 - 4x + 1 = 0$

3) $2x^2 - 3x - 2 = 0$

4) $2x^2 - 3x + 2 = 0$

Чтобы определить, у какого из данных уравнений дискриминант равен 25, необходимо последовательно вычислить дискриминант для каждого из них. Напомним, что для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант ($D$) вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) Для уравнения $x^2 - 3x + 4 = 0$:

Коэффициенты: $a = 1$, $b = -3$, $c = 4$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Дискриминант не равен 25.

2) Для уравнения $3x^2 - 4x + 1 = 0$:

Коэффициенты: $a = 3$, $b = -4$, $c = 1$.
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$.
Дискриминант не равен 25.

3) Для уравнения $2x^2 - 3x - 2 = 0$:

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = -2$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 - (-16) = 9 + 16 = 25$.
Дискриминант равен 25.

4) Для уравнения $2x^2 - 3x + 2 = 0$:

Коэффициенты: $a = 2$, $b = -3$, $c = 2$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 - 16 = -7$.
Дискриминант не равен 25.

Таким образом, единственное уравнение, дискриминант которого равен 25, это уравнение под номером 3.

Ответ: 3

5. Чему равно произведение корней уравнения

$4x^2 - 11x + 6 = 0?$

1) 6

2) 11

3) 1,5

4) 2,75

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения $4x^2 - 11x + 6 = 0$ наиболее рационально использовать теорему Виета.

Данное уравнение представлено в стандартном виде $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты равны:

• $a = 4$
• $b = -11$
• $c = 6$

Перед применением теоремы Виета необходимо убедиться, что уравнение имеет действительные корни. Для этого найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 121 - 96 = 25$

Поскольку дискриминант $D = 25 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, и, следовательно, теорему Виета применять можно.

Согласно теореме Виета, произведение корней ($x_1$ и $x_2$) приведенного квадратного уравнения равно отношению свободного члена $c$ к старшему коэффициенту $a$:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Подставим значения коэффициентов $a=4$ и $c=6$ в эту формулу:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{6}{4}$

Сократим дробь и представим ее в виде десятичного числа:

$\frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1,5$

Таким образом, произведение корней уравнения равно 1,5, что соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 1,5

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

А) Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x + 2 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$. В данном уравнении $p = -3$ и $q = 2$. Следовательно, сумма корней $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 2$. Подбором находим, что корнями являются числа 1 и 2, так как $1 + 2 = 3$ и $1 \cdot 2 = 2$. Таким образом, множество корней уравнения — $\{1, 2\}$, что соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2

Б) Решим квадратное уравнение $x^2 - 2x + 3 = 0$. Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=-2$, $c=3$. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней — пустое множество $\emptyset$, что соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5

В) Решим квадратное уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Воспользуемся теоремой Виета. В данном уравнении $p = -1$ и $q = -2$. Сумма корней $x_1 + x_2 = -(-1) = 1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -2$. Подбором находим, что корнями являются числа 2 и -1, так как $2 + (-1) = 1$ и $2 \cdot (-1) = -2$. Таким образом, множество корней уравнения — $\{-1, 2\}$, что соответствует варианту 1) в правом столбце.
Ответ: 1

7. При каком значении m уравнение $2x^2 - 9x + 4m = 0$ имеет единственный корень?

Данное уравнение $2x^2 - 9x + 4m = 0$ является квадратным уравнением вида $ax^2 + bx + c = 0$.

Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.

Найдем дискриминант ($D$) этого уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 2$, $b = -9$, $c = 4m$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим значения коэффициентов в формулу:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (4m) = 81 - 32m$

Теперь приравняем дискриминант к нулю, чтобы найти искомое значение $m$:

$81 - 32m = 0$

Решим полученное линейное уравнение относительно $m$:

$32m = 81$

$m = \frac{81}{32}$

При желании можно записать ответ в виде десятичной дроби:

$m = 2,53125$

Ответ: $m = \frac{81}{32}$