Страница 134 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и их значениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $\sqrt{5} \cdot \sqrt{45}$

Б) $(\sqrt{45} - \sqrt{5})(\sqrt{45} + \sqrt{5})$

В) $\sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2} - \sqrt{45}$

Значение выражения

1) $-5\sqrt{5}$

2) $\sqrt{5}$

3) $-\sqrt{5}$

4) $40$

5) $15$

А)

Для вычисления значения выражения $ \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} $ воспользуемся свойством произведения квадратных корней $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} $.
$ \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{5 \cdot 45} = \sqrt{225} $.
Так как $ 15^2 = 225 $, получаем $ \sqrt{225} = 15 $.
Этот результат соответствует варианту ответа 5).

Ответ: 5

Б)

Выражение $ (\sqrt{45} - \sqrt{5})(\sqrt{45} + \sqrt{5}) $ является формулой разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 $.
Применим эту формулу, где $ a = \sqrt{45} $ и $ b = \sqrt{5} $:
$ (\sqrt{45})^2 - (\sqrt{5})^2 = 45 - 5 = 40 $.
Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: 4

В)

Рассмотрим выражение $ \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2} - \sqrt{45} $.
Первый член выражения упрощается по свойству $ \sqrt{a^2} = |a| $:
$ \sqrt{(\sqrt{5} - \sqrt{45})^2} = |\sqrt{5} - \sqrt{45}| $.
Так как $ 5 < 45 $, то $ \sqrt{5} < \sqrt{45} $, и, следовательно, разность $ \sqrt{5} - \sqrt{45} $ отрицательна.
По определению модуля, для отрицательного числа $ x $ имеем $ |x| = -x $. Значит:
$ |\sqrt{5} - \sqrt{45}| = -(\sqrt{5} - \sqrt{45}) = \sqrt{45} - \sqrt{5} $.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$ (\sqrt{45} - \sqrt{5}) - \sqrt{45} = \sqrt{45} - \sqrt{5} - \sqrt{45} = -\sqrt{5} $.
Этот результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: 3

7. Решите уравнение $\sqrt{5x+6} = 6$.

Данное уравнение является иррациональным. Для его решения необходимо возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от знака корня.

$ \sqrt{5x + 6} = 6 $

Возводим обе части уравнения в квадрат:
$ (\sqrt{5x + 6})^2 = 6^2 $
$ 5x + 6 = 36 $

Теперь мы получили простое линейное уравнение. Для его решения перенесем число 6 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$ 5x = 36 - 6 $
$ 5x = 30 $

Чтобы найти $ x $, разделим обе части уравнения на 5:
$ x = \frac{30}{5} $
$ x = 6 $

После нахождения корня в иррациональном уравнении необходимо выполнить проверку, подставив полученное значение в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно не является посторонним корнем.
Проверка:
$ \sqrt{5 \cdot 6 + 6} = 6 $
$ \sqrt{30 + 6} = 6 $
$ \sqrt{36} = 6 $
$ 6 = 6 $
Равенство верное, следовательно, найденный корень является решением уравнения.

Ответ: 6

8. Найдите значение выражения $ \frac{c^2}{49} $ при $ c = 7\sqrt{5} $.

Для нахождения значения выражения $\frac{c^2}{49}$ подставим в него заданное значение $c = 7\sqrt{5}$.

$\frac{(7\sqrt{5})^2}{49}$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель. Таким образом, числитель дроби преобразуется следующим образом:

$(7\sqrt{5})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{5})^2$

Вычислим значения квадратов: $7^2 = 49$ и $(\sqrt{5})^2 = 5$.

Теперь подставим эти значения обратно в исходное выражение:

$\frac{49 \cdot 5}{49}$

Сократим дробь на 49:

$\frac{\cancel{49} \cdot 5}{\cancel{49}} = 5$

Ответ: 5

9. Упростите выражение $3\sqrt{72} - 2\sqrt{32}$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо вынести множители из-под знака корня для каждого члена выражения.

1. Рассмотрим первый член выражения: $3\sqrt{72}$.
Разложим подкоренное число 72 на простые множители или найдем наибольший множитель, являющийся полным квадратом. Число 72 можно представить как произведение $36 \times 2$.
$ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2} $
Теперь умножим результат на коэффициент 3:
$ 3\sqrt{72} = 3 \times 6\sqrt{2} = 18\sqrt{2} $

2. Рассмотрим второй член выражения: $2\sqrt{32}$.
Разложим подкоренное число 32. Его можно представить как произведение $16 \times 2$.
$ \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16} \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $
Теперь умножим результат на коэффициент 2:
$ 2\sqrt{32} = 2 \times 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} $

3. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение и выполним вычитание.
$ 3\sqrt{72} - 2\sqrt{32} = 18\sqrt{2} - 8\sqrt{2} $
Поскольку оба члена содержат одинаковый радикал $\sqrt{2}$, мы можем вычесть их коэффициенты:
$ (18 - 8)\sqrt{2} = 10\sqrt{2} $

Ответ: $10\sqrt{2}$

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{33}{\sqrt{11}}$.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель на этот иррациональный знаменатель. Это равносильно умножению дроби на единицу ($\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}=1$), поэтому значение дроби не изменится.

Исходное выражение:

$$ \frac{33}{\sqrt{11}} $$

Умножаем числитель и знаменатель на $\sqrt{11}$:

$$ \frac{33}{\sqrt{11}} = \frac{33 \cdot \sqrt{11}}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{11}} $$

В знаменателе получаем произведение $\sqrt{11} \cdot \sqrt{11} = (\sqrt{11})^2 = 11$.

$$ \frac{33\sqrt{11}}{11} $$

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 11:

$$ \frac{33\sqrt{11}}{11} = 3\sqrt{11} $$

Ответ: $3\sqrt{11}$

11. Найдите значение выражения

$(2 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) - (\sqrt{3} + 1)^2$

Для нахождения значения выражения выполним вычисления по частям.

Сначала раскроем скобки в произведении $(2 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3})$, перемножая каждый член первой скобки на каждый член второй скобки:
$(2 + \sqrt{3})(4 - \sqrt{3}) = 2 \cdot 4 - 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 8 - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 3$
Теперь приведем подобные слагаемые:
$(8 - 3) + (4\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = 5 + 2\sqrt{3}$

Далее раскроем вторую часть выражения $(\sqrt{3} + 1)^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{3} + 1)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{3} + 1 = 4 + 2\sqrt{3}$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним вычитание:
$(5 + 2\sqrt{3}) - (4 + 2\sqrt{3}) = 5 + 2\sqrt{3} - 4 - 2\sqrt{3}$
Сгруппируем и сократим подобные члены:
$(5 - 4) + (2\sqrt{3} - 2\sqrt{3}) = 1 + 0 = 1$

Ответ: 1

12. Упростите выражение $\sqrt{(a-b)^2} - \sqrt{16b^2}$, если $a > 0$, $b < 0$.

Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2} - \sqrt{16b^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, которое гласит, что $\sqrt{x^2} = |x|$ для любого действительного числа $x$.

Применим это свойство к каждому члену исходного выражения.

1. Упростим $\sqrt{(a-b)^2}$.
Согласно свойству, $\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$.
Далее нужно раскрыть модуль. Для этого определим знак выражения $a-b$, используя данные условия: $a > 0$ и $b < 0$.
Поскольку $b$ — отрицательное число, то $-b$ — положительное число. Сумма двух положительных чисел ($a$ и $-b$) также будет положительным числом. Следовательно, $a - b = a + (-b) > 0$.
Так как выражение под модулем положительно, модуль раскрывается со знаком "плюс":
$|a-b| = a-b$.

2. Упростим $\sqrt{16b^2}$.
Представим подкоренное выражение в виде квадрата: $16b^2 = (4b)^2$.
Тогда $\sqrt{16b^2} = \sqrt{(4b)^2} = |4b|$.
Определим знак выражения $4b$. По условию $b < 0$. При умножении отрицательного числа на положительное (4), результат будет отрицательным. Следовательно, $4b < 0$.
Так как выражение под модулем отрицательно, модуль раскрывается со знаком "минус":
$|4b| = -(4b) = -4b$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычисления.
$\sqrt{(a-b)^2} - \sqrt{16b^2} = (a-b) - (-4b)$.
Раскрываем скобки: $a - b + 4b$.
Приводим подобные слагаемые: $a + 3b$.

Ответ: $a + 3b$.