Страница 130 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и их значениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$

Б) $(\sqrt{12} - \sqrt{3})(\sqrt{12} + \sqrt{3})$

В) $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} + \sqrt{7}$

Значение выражения

1) 3

2) 6

3) 9

4) 12

5) $2\sqrt{7} - 3$

А) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3} \cdot \sqrt{12}$ воспользуемся свойством произведения квадратных корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.
$\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} = \sqrt{3 \cdot 12} = \sqrt{36} = 6$.
Это значение соответствует номеру 2) в правом столбце.
Ответ: 2

Б) Выражение $(\sqrt{12} - \sqrt{3})(\sqrt{12} + \sqrt{3})$ представляет собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a = \sqrt{12}$ и $b = \sqrt{3}$.
Применим формулу: $(\sqrt{12} - \sqrt{3})(\sqrt{12} + \sqrt{3}) = (\sqrt{12})^2 - (\sqrt{3})^2 = 12 - 3 = 9$.
Это значение соответствует номеру 3) в правом столбце.
Ответ: 3

В) Рассмотрим выражение $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} + \sqrt{7}$.
Согласно свойству квадратного корня, $\sqrt{x^2} = |x|$. Следовательно, $\sqrt{(\sqrt{7} - 3)^2} = |\sqrt{7} - 3|$.
Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $\sqrt{7} - 3$. Для этого сравним $\sqrt{7}$ и $3$. Так как $3 = \sqrt{9}$, а $7 < 9$, то $\sqrt{7} < \sqrt{9}$, и, значит, $\sqrt{7} < 3$.
Следовательно, разность $\sqrt{7} - 3$ отрицательна. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу: $|\sqrt{7} - 3| = -(\sqrt{7} - 3) = 3 - \sqrt{7}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$(3 - \sqrt{7}) + \sqrt{7} = 3 - \sqrt{7} + \sqrt{7} = 3$.
Это значение соответствует номеру 1) в правом столбце.
Ответ: 1

7. Решите уравнение $\sqrt{6x + 7} = 7$.

Данное уравнение является иррациональным. Чтобы его решить, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем обе части уравнения в квадрат.

Исходное уравнение:

$\sqrt{6x + 7} = 7$

Возводим обе части в квадрат:

$(\sqrt{6x + 7})^2 = 7^2$

В левой части корень и квадрат взаимно уничтожаются, а в правой вычисляем квадрат числа:

$6x + 7 = 49$

Получили простое линейное уравнение. Перенесем число $7$ из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$6x = 49 - 7$

$6x = 42$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $6$:

$x = \frac{42}{6}$

$x = 7$

При решении иррациональных уравнений путем возведения в квадрат необходимо выполнить проверку, так как могут появиться посторонние корни. Подставим найденное значение $x=7$ в исходное уравнение:

$\sqrt{6 \cdot 7 + 7} = 7$

$\sqrt{42 + 7} = 7$

$\sqrt{49} = 7$

$7 = 7$

Равенство верное, следовательно, корень $x=7$ является решением уравнения.

Ответ: $7$

8. Найдите значение выражения $ \frac{a^2}{9} $ при $ a = 3\sqrt{2} $.

Чтобы найти значение выражения $\frac{a^2}{9}$, нужно подставить в него заданное значение $a = 3\sqrt{2}$.

$\frac{a^2}{9} = \frac{(3\sqrt{2})^2}{9}$

Упростим выражение в числителе. Для этого воспользуемся свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:

$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2$

Вычислим значение каждого множителя:

$3^2 = 9$

$(\sqrt{2})^2 = 2$

Таким образом, числитель равен:

$9 \cdot 2 = 18$

Теперь подставим полученное значение обратно в дробь и найдем конечный результат:

$\frac{18}{9} = 2$

Ответ: 2

9. Упростите выражение $5\sqrt{12} - 0.5\sqrt{48}$.

Чтобы упростить выражение $5\sqrt{12} - 0,5\sqrt{48}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом, чтобы привести их к общему виду.

1. Упростим первый член выражения, $5\sqrt{12}$.

Представим число 12 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $12 = 4 \cdot 3$.

Теперь мы можем вынести множитель из-под знака корня:

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение обратно в первый член выражения:

$5\sqrt{12} = 5 \cdot 2\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$.

2. Упростим второй член выражения, $0,5\sqrt{48}$.

Представим число 48 в виде произведения множителей, один из которых является полным квадратом: $48 = 16 \cdot 3$.

Вынесем множитель из-под знака корня:

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Подставим полученное значение обратно во второй член выражения:

$0,5\sqrt{48} = 0,5 \cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

3. Теперь, когда оба члена выражения приведены к общему виду, выполним вычитание:

$5\sqrt{12} - 0,5\sqrt{48} = 10\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$.

Вынесем общий множитель $\sqrt{3}$ за скобки:

$(10 - 2)\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$.

Ответ: $8\sqrt{3}$.

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{14}{\sqrt{7}}$.

Чтобы освободиться от иррациональности в знаменателе дроби, необходимо умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на иррациональное выражение в знаменателе. В данном случае это $ \sqrt{7} $. Это действие основано на основном свойстве дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же ненулевое число, то получится равная ей дробь.

Исходное выражение: $ \frac{14}{\sqrt{7}} $

Умножим числитель и знаменатель дроби на $ \sqrt{7} $: $ \frac{14}{\sqrt{7}} = \frac{14 \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} $

Выполним вычисления в знаменателе, используя свойство корня $ \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a $: $ \sqrt{7} \cdot \sqrt{7} = 7 $

Подставим полученное значение в знаменатель: $ \frac{14\sqrt{7}}{7} $

Теперь сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7: $ \frac{14\sqrt{7}}{7} = 2\sqrt{7} $

Ответ: $ 2\sqrt{7} $

11. Найдите значение выражения

$(5 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)^2.$

Чтобы найти значение выражения $(5 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)^2$, выполним действия по порядку.

1. Сначала раскроем скобки в произведении $(5 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3})$. Для этого умножим каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(5 - \sqrt{3})(7 + \sqrt{3}) = 5 \cdot 7 + 5 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 7 - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}$

Выполним вычисления:

$35 + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3} - 3$

Теперь приведем подобные слагаемые:

$(35 - 3) + (5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}) = 32 - 2\sqrt{3}$

2. Теперь возведем в квадрат выражение $(\sqrt{3} - 1)^2$, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}$

3. На последнем шаге вычтем из результата первого действия результат второго:

$(32 - 2\sqrt{3}) - (4 - 2\sqrt{3}) = 32 - 2\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(32 - 4) + (-2\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) = 28 + 0 = 28$

Ответ: 28

12. Упростите выражение $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{4a^2}$, если $a < 0,$
$b > 0.$

Для упрощения выражения $\sqrt{(a-b)^2} + \sqrt{4a^2}$ воспользуемся свойством квадратного корня $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $x$.

Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности, учитывая условия $a < 0$ и $b > 0$.

1. Упростим первое слагаемое $\sqrt{(a-b)^2}$.

$\sqrt{(a-b)^2} = |a-b|$

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $a-b$. По условию, $a$ — отрицательное число ($a < 0$), а $b$ — положительное число ($b > 0$). Вычитание положительного числа из отрицательного всегда дает в результате отрицательное число. Например, если $a = -1$, $b = 2$, то $a-b = -1-2 = -3 < 0$. Таким образом, $a-b < 0$.

По определению модуля, если $x < 0$, то $|x| = -x$. Следовательно:

$|a-b| = -(a-b) = -a + b = b - a$

2. Упростим второе слагаемое $\sqrt{4a^2}$.

$\sqrt{4a^2} = \sqrt{4 \cdot a^2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{a^2} = 2 \cdot |a|$

По условию $a < 0$, значит, по определению модуля $|a| = -a$.

Тогда:

$2 \cdot |a| = 2 \cdot (-a) = -2a$

3. Сложим полученные результаты.

Исходное выражение равно сумме упрощенных слагаемых:

$(b - a) + (-2a) = b - a - 2a = b - 3a$

Ответ: $b - 3a$.