Страница 132 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и их значениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$

Б) $(\sqrt{8} - \sqrt{2})(\sqrt{8} + \sqrt{2})$

В) $\sqrt{(2 - \sqrt{8})^2} - \sqrt{8}$

Значение выражения

1) 2

2) 4

3) 6

4) $2 - 2\sqrt{8}$

5) $-2$

Для установления соответствия необходимо вычислить значение каждого выражения из левого столбца и найти его среди значений в правом столбце.

А)

Вычислим значение выражения $\sqrt{8} \cdot \sqrt{2}$.

Воспользуемся свойством произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{8} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{8 \cdot 2} = \sqrt{16} = 4$.

Полученное значение 4 соответствует номеру 2) в правом столбце.

Ответ: 2

Б)

Вычислим значение выражения $(\sqrt{8} - \sqrt{2})(\sqrt{8} + \sqrt{2})$.

Это выражение является произведением разности и суммы двух чисел, что соответствует формуле разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу, где $a = \sqrt{8}$ и $b = \sqrt{2}$:

$(\sqrt{8})^2 - (\sqrt{2})^2 = 8 - 2 = 6$.

Полученное значение 6 соответствует номеру 3) в правом столбце.

Ответ: 3

В)

Вычислим значение выражения $\sqrt{(2 - \sqrt{8})^2} - \sqrt{8}$.

Используем свойство квадратного корня из квадрата числа: $\sqrt{x^2} = |x|$.

$\sqrt{(2 - \sqrt{8})^2} = |2 - \sqrt{8}|$.

Чтобы раскрыть модуль, нужно определить знак выражения $2 - \sqrt{8}$. Сравним числа 2 и $\sqrt{8}$.

Поскольку $2 = \sqrt{4}$, а $4 < 8$, то и $\sqrt{4} < \sqrt{8}$, то есть $2 < \sqrt{8}$.

Следовательно, разность $2 - \sqrt{8}$ отрицательна.

По определению модуля: $|2 - \sqrt{8}| = -(2 - \sqrt{8}) = \sqrt{8} - 2$.

Теперь подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{8} - 2) - \sqrt{8} = \sqrt{8} - 2 - \sqrt{8} = -2$.

Полученное значение -2 соответствует номеру 5) в правом столбце.

Ответ: 5

7. Решите уравнение $\sqrt{4x + 5} = 5$.

Дано иррациональное уравнение: $ \sqrt{4x + 5} = 5 $.

Чтобы решить данное уравнение, необходимо избавиться от знака квадратного корня. Для этого возведем в квадрат обе части уравнения. Так как правая часть уравнения (число 5) является положительным числом, данное преобразование будет равносильным при условии, что подкоренное выражение неотрицательно.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражение под корнем должно быть больше или равно нулю:

$ 4x + 5 \geq 0 $

$ 4x \geq -5 $

$ x \geq -\frac{5}{4} $

$ x \geq -1.25 $

Теперь возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$ (\sqrt{4x + 5})^2 = 5^2 $

В левой части корень и квадрат взаимно уничтожаются:

$ 4x + 5 = 25 $

Мы получили простое линейное уравнение. Перенесем число 5 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный:

$ 4x = 25 - 5 $

$ 4x = 20 $

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4:

$ x = \frac{20}{4} $

$ x = 5 $

Проверим, соответствует ли найденный корень области допустимых значений. Условие ОДЗ: $ x \geq -1.25 $.

Поскольку $ 5 \geq -1.25 $, найденный корень $x=5$ удовлетворяет ОДЗ и является решением уравнения.

Дополнительно можно выполнить проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$ \sqrt{4 \cdot 5 + 5} = \sqrt{20 + 5} = \sqrt{25} = 5 $

$ 5 = 5 $

Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: 5

8. Найдите значение выражения $\frac{b^2}{16}$ при $b = 4\sqrt{7}$.

Чтобы найти значение выражения, необходимо подставить данное значение $b = 4\sqrt{7}$ в выражение $\frac{b^2}{16}$.

$\frac{(4\sqrt{7})^2}{16}$

Возведем в квадрат числитель дроби. Воспользуемся свойством степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:

$(4\sqrt{7})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{7})^2$

Вычислим значения квадратов: $4^2 = 16$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$.
Тогда числитель равен $16 \cdot 7$.

Подставим полученное значение обратно в выражение:

$\frac{16 \cdot 7}{16}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{16} \cdot 7}{\cancel{16}} = 7$

Ответ: 7

9. Упростите выражение $2\sqrt{245} - 3\sqrt{45}$.

Для того чтобы упростить выражение $2\sqrt{245} - 3\sqrt{45}$, необходимо вынести множители из-под знака корня в каждом слагаемом. Это позволит привести корни к одинаковому виду и выполнить вычитание.

1. Упростим первый член выражения $2\sqrt{245}$.
Разложим число 245 на множители, один из которых является полным квадратом. Число 245 оканчивается на 5, поэтому оно делится на 5:
$245 = 5 \cdot 49$.
Поскольку $49 = 7^2$, мы можем вынести множитель из-под корня:
$\sqrt{245} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{5} = 7\sqrt{5}$.
Теперь умножим на коэффициент 2:
$2\sqrt{245} = 2 \cdot 7\sqrt{5} = 14\sqrt{5}$.

2. Упростим второй член выражения $3\sqrt{45}$.
Разложим число 45 на множители:
$45 = 9 \cdot 5$.
Поскольку $9 = 3^2$, мы можем вынести множитель из-под корня:
$\sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
Теперь умножим на коэффициент 3:
$3\sqrt{45} = 3 \cdot 3\sqrt{5} = 9\sqrt{5}$.

3. Подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение и выполним вычитание.
$2\sqrt{245} - 3\sqrt{45} = 14\sqrt{5} - 9\sqrt{5}$.
Так как оба члена содержат общий множитель $\sqrt{5}$, мы можем вынести его за скобки:
$(14 - 9)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{5}$

10. Освободитесь от иррациональности в знаменателе

дроби $ \frac{18}{\sqrt{6}} $.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби $\frac{18}{\sqrt{6}}$, нужно умножить и числитель, и знаменатель этой дроби на $\sqrt{6}$. Это действие не изменит значение дроби, так как по сути мы умножаем ее на единицу ($\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 1$).

Выполним умножение:

$\frac{18}{\sqrt{6}} = \frac{18 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}}$

Зная, что $\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$, получаем в знаменателе:

$\frac{18\sqrt{6}}{6}$

Теперь сократим полученную дробь, разделив 18 на 6:

$\frac{18\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6}$

В результате мы получили выражение без иррациональности в знаменателе.

Ответ: $3\sqrt{6}$

11. Найдите значение выражения

$(3 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 1)^2$

Для нахождения значения выражения $(3 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5}) - (\sqrt{5} + 1)^2$ выполним вычисления по частям.

1. Сначала упростим произведение $(3 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5})$. Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(3 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5}) = 3 \cdot 5 + 3 \cdot (-\sqrt{5}) + \sqrt{5} \cdot 5 + \sqrt{5} \cdot (-\sqrt{5})$

Выполним умножение:

$15 - 3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - (\sqrt{5})^2 = 15 - 3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} - 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(15 - 5) + (-3\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) = 10 + 2\sqrt{5}$

2. Теперь упростим выражение $(\sqrt{5} + 1)^2$. Воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{5} + 1)^2 = (\sqrt{5})^2 + 2 \cdot \sqrt{5} \cdot 1 + 1^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}$

3. Подставим полученные значения обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$(10 + 2\sqrt{5}) - (6 + 2\sqrt{5})$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$10 + 2\sqrt{5} - 6 - 2\sqrt{5}$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(10 - 6) + (2\sqrt{5} - 2\sqrt{5}) = 4 + 0 = 4$

Ответ: 4

12. Упростите выражение $\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{9b^2}$, если $a < 0$, $b < 0$.

Чтобы упростить данное выражение, необходимо использовать свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{x^2} = |x|$, где $|x|$ — это модуль числа $x$.

Исходное выражение: $\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{9b^2}$.

1. Рассмотрим первый член выражения: $\sqrt{(a+b)^2}$.

Применяя свойство корня, получаем: $\sqrt{(a+b)^2} = |a+b|$.

По условию задачи $a < 0$ и $b < 0$. Сумма двух отрицательных чисел всегда отрицательна, следовательно, $a+b < 0$.

По определению модуля, если выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль равен этому выражению, взятому с противоположным знаком: $|a+b| = -(a+b) = -a - b$.

2. Рассмотрим второй член выражения: $\sqrt{9b^2}$.

Сначала представим подкоренное выражение в виде квадрата: $9b^2 = (3b)^2$.

Тогда $\sqrt{9b^2} = \sqrt{(3b)^2} = |3b|$.

По условию $b < 0$. При умножении отрицательного числа на положительное (3) результат будет отрицательным, то есть $3b < 0$.

Следовательно, $|3b| = -(3b) = -3b$.

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение и упростим его:

$\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt{9b^2} = |a+b| - |3b| = (-a - b) - (-3b) = -a - b + 3b = -a + 2b$.

Ответ: $-a + 2b$.