Страница 128 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Порядок числа $m$ равен $-2$. Определите порядок числа $10000m$.

Порядок числа – это показатель степени в стандартной записи числа. Стандартная запись числа $m$ имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ – целое число, которое и является порядком числа.

По условию, порядок числа $m$ равен $-2$. Это означает, что число $m$ можно представить в виде:

$m = a \cdot 10^{-2}$, где $1 \le a < 10$.

Теперь найдем порядок числа $10\,000m$. Сначала представим число $10\,000$ в стандартном виде:

$10\,000 = 1 \cdot 10^4 = 10^4$.

Теперь умножим $10\,000$ на $m$:

$10\,000m = (10^4) \cdot (a \cdot 10^{-2})$

Используя свойство степеней $x^p \cdot x^q = x^{p+q}$, упростим выражение:

$10\,000m = a \cdot (10^4 \cdot 10^{-2}) = a \cdot 10^{4 + (-2)} = a \cdot 10^2$.

Мы получили число в стандартном виде $a \cdot 10^2$. Так как $1 \le a < 10$, то порядок этого числа равен показателю степени у десятки, то есть $2$.

Ответ: 2

9. Упростите выражение $\left(\frac{1}{6}\right)^{-3} a^{-5}b^8 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2 a^7b^{-9}$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения данного выражения сгруппируем множители с одинаковыми основаниями (числовые коэффициенты, степени с основанием $a$ и степени с основанием $b$):
$(\frac{1}{6})^{-3} a^{-5}b^{8} \cdot (\frac{1}{6})^{2} a^{7}b^{-9} = \left((\frac{1}{6})^{-3} \cdot (\frac{1}{6})^{2}\right) \cdot (a^{-5} \cdot a^{7}) \cdot (b^{8} \cdot b^{-9})$

Воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Применим его к каждой группе.

1. Упростим числовую часть:
$(\frac{1}{6})^{-3} \cdot (\frac{1}{6})^{2} = (\frac{1}{6})^{-3+2} = (\frac{1}{6})^{-1}$
По свойству степени с отрицательным показателем $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^{n}$, получим:
$(\frac{1}{6})^{-1} = \frac{6}{1} = 6$

2. Упростим часть с переменной $a$:
$a^{-5} \cdot a^{7} = a^{-5+7} = a^2$

3. Упростим часть с переменной $b$:
$b^{8} \cdot b^{-9} = b^{8+(-9)} = b^{-1}$

Теперь объединим полученные результаты:
$6 \cdot a^2 \cdot b^{-1}$

По условию, результат нужно записать в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем. Для этого преобразуем $b^{-1}$ по правилу $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:
$b^{-1} = \frac{1}{b}$

Подставим это в наше выражение и получим окончательный вид:
$6 \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b} = \frac{6a^2}{b}$

Ответ: $\frac{6a^2}{b}$

10. Найдите значение выражения $\frac{a^{12} \cdot a^{-29}}{a^{-15}}$ при $a=0,1$.

Для решения задачи сначала упростим выражение, используя свойства степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Применим это свойство к числителю дроби:

$a^{12} \cdot a^{-29} = a^{12 + (-29)} = a^{-17}$

2. Теперь исходное выражение выглядит так:

$\frac{a^{-17}}{a^{-15}}$

3. При делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Применим это свойство:

$\frac{a^{-17}}{a^{-15}} = a^{-17 - (-15)} = a^{-17 + 15} = a^{-2}$

4. Теперь, когда выражение упрощено до $a^{-2}$, подставим в него заданное значение $a = 0,1$:

$(0,1)^{-2}$

5. Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(0,1)^{-2} = \frac{1}{(0,1)^2} = \frac{1}{0,01}$

Чтобы избавиться от дроби в знаменателе, представим $0,01$ как $\frac{1}{100}$:

$\frac{1}{\frac{1}{100}} = 1 \cdot \frac{100}{1} = 100$

Ответ: 100

11. Вычислите площадь квадрата со стороной $5,5 \cdot 10^{-2}$ м и запишите результат в стандартном виде.

Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина его стороны.

По условию задачи, сторона квадрата $a = 5,5 \cdot 10^{-2}$ м.

Подставим это значение в формулу площади:
$S = (5,5 \cdot 10^{-2})^2$

Чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить:
$S = (5,5)^2 \cdot (10^{-2})^2$

Вычислим каждый множитель отдельно:
$(5,5)^2 = 30,25$
$(10^{-2})^2 = 10^{-2 \cdot 2} = 10^{-4}$

Таким образом, площадь равна:
$S = 30,25 \cdot 10^{-4}$ м²

Теперь необходимо записать результат в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $c \cdot 10^n$, где $1 \le c < 10$, а $n$ — целое число.

Наш результат $30,25 \cdot 10^{-4}$ не в стандартном виде, так как $30,25 > 10$.
Представим число 30,25 в стандартном виде: $30,25 = 3,025 \cdot 10^1$.
Теперь подставим это в наше выражение для площади:
$S = (3,025 \cdot 10^1) \cdot 10^{-4}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$S = 3,025 \cdot 10^{1 + (-4)} = 3,025 \cdot 10^{-3}$ м²

Ответ: $3,025 \cdot 10^{-3}$ м²

12. Какое из чисел $(\frac{6}{7})^{-8}$, $(\frac{7}{6})^{-8}$ и $\frac{7}{6}$ - наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел является наибольшим, необходимо привести их к более удобному для сравнения виду. Мы будем использовать свойство степени с отрицательным показателем: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} $.

1. Преобразуем первое число: $ (\frac{6}{7})^{-8} $. Применив указанное выше свойство, получим: $ (\frac{6}{7})^{-8} = (\frac{7}{6})^{8} $.

2. Преобразуем второе число: $ (\frac{7}{6})^{-8} $. Аналогично, получим: $ (\frac{7}{6})^{-8} = (\frac{6}{7})^{8} $.

3. Третье число $ \frac{7}{6} $ оставляем без изменений.

Теперь перед нами стоит задача сравнить три числа: $ (\frac{7}{6})^{8} $, $ (\frac{6}{7})^{8} $ и $ \frac{7}{6} $.

Проанализируем эти числа.

• Дробь $ \frac{6}{7} $ является правильной, то есть она меньше 1 ($ 0 < \frac{6}{7} < 1 $). При возведении такого числа в положительную степень (в нашем случае в 8-ю), результат будет еще меньше исходного числа и, следовательно, меньше 1. Таким образом, $ (\frac{6}{7})^{8} < 1 $.
• Дробь $ \frac{7}{6} $ является неправильной, то есть она больше 1 ($ \frac{7}{6} > 1 $).
• Выражение $ (\frac{7}{6})^{8} $ — это число большее 1, возведенное в степень больше 1. Такое число всегда будет больше своего основания. Следовательно, $ (\frac{7}{6})^{8} > \frac{7}{6} $.

Расположив числа в порядке возрастания, мы получаем: $ (\frac{6}{7})^{8} < \frac{7}{6} < (\frac{7}{6})^{8} $.

Из этого следует, что наибольшим числом является $ (\frac{7}{6})^{8} $. Вспоминая исходные выражения, мы видим, что это число соответствует $ (\frac{6}{7})^{-8} $.

Ответ: $ (\frac{6}{7})^{-8} $.