Номер 12, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Какое из чисел $(\frac{6}{7})^{-8}$, $(\frac{7}{6})^{-8}$ и $\frac{7}{6}$ - наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел является наибольшим, необходимо привести их к более удобному для сравнения виду. Мы будем использовать свойство степени с отрицательным показателем: $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^{n} $.

1. Преобразуем первое число: $ (\frac{6}{7})^{-8} $. Применив указанное выше свойство, получим: $ (\frac{6}{7})^{-8} = (\frac{7}{6})^{8} $.

2. Преобразуем второе число: $ (\frac{7}{6})^{-8} $. Аналогично, получим: $ (\frac{7}{6})^{-8} = (\frac{6}{7})^{8} $.

3. Третье число $ \frac{7}{6} $ оставляем без изменений.

Теперь перед нами стоит задача сравнить три числа: $ (\frac{7}{6})^{8} $, $ (\frac{6}{7})^{8} $ и $ \frac{7}{6} $.

Проанализируем эти числа.

• Дробь $ \frac{6}{7} $ является правильной, то есть она меньше 1 ($ 0 < \frac{6}{7} < 1 $). При возведении такого числа в положительную степень (в нашем случае в 8-ю), результат будет еще меньше исходного числа и, следовательно, меньше 1. Таким образом, $ (\frac{6}{7})^{8} < 1 $.
• Дробь $ \frac{7}{6} $ является неправильной, то есть она больше 1 ($ \frac{7}{6} > 1 $).
• Выражение $ (\frac{7}{6})^{8} $ — это число большее 1, возведенное в степень больше 1. Такое число всегда будет больше своего основания. Следовательно, $ (\frac{7}{6})^{8} > \frac{7}{6} $.

Расположив числа в порядке возрастания, мы получаем: $ (\frac{6}{7})^{8} < \frac{7}{6} < (\frac{7}{6})^{8} $.

Из этого следует, что наибольшим числом является $ (\frac{7}{6})^{8} $. Вспоминая исходные выражения, мы видим, что это число соответствует $ (\frac{6}{7})^{-8} $.

Ответ: $ (\frac{6}{7})^{-8} $.