Номер 1, страница 129, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,81}$, $\sqrt{81}$, $\sqrt{810}$, $\sqrt{810000}$ является
иррациональным?

1) $\sqrt{0,81}$

2) $\sqrt{81}$

3) $\sqrt{810}$

4) $\sqrt{810000}$

Для того чтобы определить, какое из предложенных чисел является иррациональным, необходимо проанализировать каждое из них. Иррациональное число — это число, которое не может быть представлено в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. Квадратный корень из неотрицательного числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является квадратом рационального числа.

Рассмотрим каждый вариант:

1) $\sqrt{0,81}$

Представим десятичную дробь 0,81 в виде обыкновенной дроби: $0,81 = \frac{81}{100}$.

Тогда $\sqrt{0,81} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}} = \frac{9}{10} = 0,9$.

Число 0,9 является конечной десятичной дробью, следовательно, это рациональное число.

2) $\sqrt{81}$

Число 81 является полным квадратом, так как $9^2 = 81$.

Следовательно, $\sqrt{81} = 9$.

Число 9 является целым, а значит и рациональным числом.

3) $\sqrt{810}$

Разложим подкоренное выражение на множители: $810 = 81 \times 10 = 9^2 \times 10$.

Тогда $\sqrt{810} = \sqrt{9^2 \times 10} = \sqrt{9^2} \times \sqrt{10} = 9\sqrt{10}$.

Число 10 не является полным квадратом целого числа, поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число. Произведение рационального числа (9) и иррационального числа ($\sqrt{10}$) является иррациональным числом.

4) $\sqrt{810000}$

Представим подкоренное выражение как произведение: $810000 = 81 \times 10000$.

Оба множителя являются полными квадратами: $81 = 9^2$ и $10000 = 100^2$.

Тогда $\sqrt{810000} = \sqrt{81 \times 10000} = \sqrt{81} \times \sqrt{10000} = 9 \times 100 = 900$.

Число 900 является целым, а значит и рациональным числом.

Таким образом, единственным иррациональным числом из предложенных является $\sqrt{810}$.

Ответ: $\sqrt{810}$