Страница 121 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Какое из приведённых выражений тождественно равно степени $12^{k-9}$?

1) $\frac{12^k}{12^9}$ 2) $\frac{12^k}{12^{-9}}$ 3) $12^k - 12^9$ 4) $(12^k)^{-9}$

Чтобы определить, какое из приведённых выражений тождественно равно степени $12^{k-9}$, необходимо рассмотреть каждый вариант, используя свойства степеней.

1) $\frac{12^k}{12^9}$

Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{12^k}{12^9} = 12^{k-9}$

Это выражение тождественно равно исходному.

2) $\frac{12^k}{12^{-9}}$

Применяя то же свойство деления степеней, получаем:

$\frac{12^k}{12^{-9}} = 12^{k - (-9)} = 12^{k+9}$

Это выражение не равно $12^{k-9}$.

3) $12^k - 12^9$

Это разность степеней, а не частное. Для разности степеней нет правила, которое приводило бы к степени с разностью показателей. Следовательно, это выражение не равно $12^{k-9}$.

4) $(12^k)^{-9}$

Используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(12^k)^{-9} = 12^{k \cdot (-9)} = 12^{-9k}$

Это выражение не равно $12^{k-9}$.

Таким образом, единственное выражение, которое тождественно равно $12^{k-9}$, находится под номером 1.

Ответ: 1

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $32a^{-20}b^{35} = (*)^{-5}$, чтобы образовалось тождество.

1) $2a^{-4}b^{7}$

2) $2a^{4}b^{-7}$

3) $\frac{1}{2}a^{-4}b^{7}$

4) $\frac{1}{2}a^{4}b^{-7}$

Обозначим искомое выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки (*), через $X$. Тогда заданное тождество принимает вид:

$32a^{-20}b^{35} = (X)^{-5}$

Чтобы найти $X$, возведём обе части уравнения в степень $-\frac{1}{5}$.

$(32a^{-20}b^{35})^{-\frac{1}{5}} = ((X)^{-5})^{-\frac{1}{5}}$

Правая часть уравнения упрощается с использованием свойства степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$((X)^{-5})^{-\frac{1}{5}} = X^{(-5) \cdot (-\frac{1}{5})} = X^1 = X$

Теперь вычислим левую часть, применяя свойство степеней $(pqr)^n = p^n q^n r^n$:

$X = 32^{-\frac{1}{5}} \cdot (a^{-20})^{-\frac{1}{5}} \cdot (b^{35})^{-\frac{1}{5}}$

Вычислим значение каждого множителя по отдельности.

Для числового коэффициента: $32^{-\frac{1}{5}} = \frac{1}{32^{\frac{1}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \frac{1}{2}$, поскольку $2^5 = 32$.

Для переменной $a$: $(a^{-20})^{-\frac{1}{5}} = a^{-20 \cdot (-\frac{1}{5})} = a^{\frac{20}{5}} = a^4$.

Для переменной $b$: $(b^{35})^{-\frac{1}{5}} = b^{35 \cdot (-\frac{1}{5})} = b^{-\frac{35}{5}} = b^{-7}$.

Объединив полученные результаты, получаем искомое выражение:

$X = \frac{1}{2}a^4b^{-7}$

Ответ: 4) $\frac{1}{2}a^{4}b^{-7}$

5. Площадь Красноярского края — 2366,8 тыс. $ \text{км}^2 $. Как записывают эту величину в стандартном виде?

1) $2,3668 \cdot 10^3 \text{ км}^2$

2) $2,3668 \cdot 10^6 \text{ км}^2$

3) $23,668 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

4) $2,3668 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число.

Исходная величина площади Красноярского края составляет 2366,8 тыс. км².

Сокращение "тыс." означает "тысяч", то есть 1000. В виде степени это $10^3$.
Таким образом, площадь можно записать как $2366,8 \times 10^3 \text{ км}^2$.

Чтобы привести это выражение к стандартному виду, необходимо, чтобы первый множитель ($a$) был в диапазоне от 1 до 10. В нашем случае он равен 2366,8, что больше 10.
Представим число $2366,8$ в стандартном виде. Для этого перенесем запятую на 3 знака влево, чтобы получилось число 2,3668. Поскольку мы уменьшили число в $10^3$ раз, для сохранения равенства его нужно умножить на $10^3$:
$2366,8 = 2,3668 \times 10^3$.

Теперь подставим это в исходное выражение для площади:
$S = (2,3668 \times 10^3) \times 10^3 \text{ км}^2$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($10^m \cdot 10^n = 10^{m+n}$):
$10^3 \times 10^3 = 10^{3+3} = 10^6$.

В итоге получаем площадь в стандартном виде:
$S = 2,3668 \times 10^6 \text{ км}^2$.

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $2,3668 \cdot 10^6 \text{ км}^2$.

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $b^{-5} \cdot b^6$

Б) $b^{-1} : b^{-3}$

В) $(b^{-1})^3$

Тождественно равное выражение

1) $b$

2) $b^2$

3) $\frac{1}{b}$

4) $\frac{1}{b^2}$

5) $\frac{1}{b^3}$

Для решения данной задачи необходимо упростить каждое выражение в левом столбце, используя свойства степеней.

А) $b^{-5} \cdot b^6$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$b^{-5} \cdot b^6 = b^{-5+6} = b^1 = b$
Это выражение соответствует варианту 1) в правом столбце.
Ответ: 1.

Б) $b^{-1} : b^{-3}$
При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя:
$b^{-1} : b^{-3} = b^{-1 - (-3)} = b^{-1+3} = b^2$
Это выражение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2.

В) $(b^{-1})^3$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$(b^{-1})^3 = b^{-1 \cdot 3} = b^{-3}$
Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на ту же степень с положительным показателем:
$b^{-3} = \frac{1}{b^3}$
Это выражение соответствует варианту 5) в правом столбце.
Ответ: 5.

7. Решите уравнение $\frac{x^2 + 9x}{x^2 + 18x + 81} = 0.$

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это условие можно записать в виде системы:

$$ \begin{cases} x^2 + 9x = 0 \\ x^2 + 18x + 81 \neq 0 \end{cases} $$

Сначала решим уравнение, приравняв числитель к нулю:

$$ x^2 + 9x = 0 $$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$ x(x + 9) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$x_1 = 0$

$x + 9 = 0 \Rightarrow x_2 = -9$

Теперь проверим область допустимых значений, убедившись, что знаменатель не равен нулю:

$$ x^2 + 18x + 81 \neq 0 $$

Выражение в левой части является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$$ (x + 9)^2 \neq 0 $$

Это неравенство выполняется, если основание степени не равно нулю:

$$ x + 9 \neq 0 $$

$$ x \neq -9 $$

Сравнивая корни, полученные из числителя ($0$ и $-9$), с областью допустимых значений ($x \neq -9$), мы видим, что корень $x = -9$ является посторонним, так как он обращает знаменатель в ноль.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $0$