Страница 117 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из данных уравнений имеет два корня?

1) $\frac{x - 1}{x + 2} = 0$

2) $\frac{x^2 - 1}{x + 2} = 0$

3) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$

4) $\frac{x^2 + 1}{x + 1} = 0$

Чтобы определить, какое из предложенных уравнений имеет два корня, необходимо решить каждое из них. Рациональное уравнение вида $\frac{A(x)}{B(x)} = 0$ решается при условии, что числитель $A(x)$ равен нулю, а знаменатель $B(x)$ не равен нулю. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} A(x) = 0 \\ B(x) \neq 0 \end{cases}$

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности.

1) $\frac{x - 1}{x + 2} = 0$

Составим систему:

$\begin{cases} x - 1 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения находим корень: $x = 1$.

Проверяем по второму условию: $1 + 2 = 3 \neq 0$. Условие выполняется.

Уравнение имеет один корень.

Ответ: один корень.

2) $\frac{x^2 - 1}{x + 2} = 0$

Составим систему:

$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$. Отсюда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим оба корня по второму условию $x \neq -2$.

Для $x_1 = 1$: $1 + 2 = 3 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 + 2 = 1 \neq 0$. Корень подходит.

Оба корня удовлетворяют условию, следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: два корня.

3) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = 0$

Составим систему:

$\begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решение первого уравнения: $x^2 - 1 = 0$, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Проверим оба корня по второму условию $x \neq -1$.

Для $x_1 = 1$: $1 + 1 = 2 \neq 0$. Корень подходит.

Для $x_2 = -1$: $-1 + 1 = 0$. Условие не выполняется. Значит, $x = -1$ является посторонним корнем.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: один корень.

4) $\frac{x^2 + 1}{x + 1} = 0$

Составим систему:

$\begin{cases} x^2 + 1 = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$.

В множестве действительных чисел это уравнение не имеет решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

Проанализировав все варианты, мы видим, что только уравнение под номером 2 имеет два корня.

2. Укажите рисунок, на котором изображён график функции $y = -\frac{6}{x}$.

1) 2) 3) 4)

Заданная функция $y = -\frac{6}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является гипербола.

Общий вид функции обратной пропорциональности — $y = \frac{k}{x}$. В нашем случае коэффициент $k = -6$.

Поскольку коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$), ветви гиперболы должны располагаться во второй (II) и четвёртой (IV) координатных четвертях.

Рассмотрим предложенные графики:

• На рисунках 1 и 3 ветви гиперболы находятся в I и III четвертях, что соответствует случаю $k > 0$. Следовательно, эти варианты неверны.
• На рисунках 2 и 4 ветви гиперболы находятся во II и IV четвертях, что соответствует случаю $k < 0$. Один из этих вариантов является верным.

Чтобы выбрать между рисунками 2 и 4, найдём координаты любой точки, принадлежащей графику функции. Возьмем, например, значение $x = -2$ и подставим его в уравнение:

$y = -\frac{6}{-2} = 3$

Таким образом, график функции должен проходить через точку с координатами $(-2; 3)$.

Теперь проверим, на каком из оставшихся рисунков график проходит через эту точку:

• На рисунке 2 мы видим, что при $x = -2$ значение $y$ равно 3. Точка $(-2; 3)$ принадлежит этому графику.
• На рисунке 4 при $x = -2$ значение $y$ равно 0.5. Этот график не подходит.

Следовательно, правильный график изображён на рисунке 2.

Ответ: 2