Страница 110 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Представьте в виде дроби выражение $\frac{a^2 - 25}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a - 10}$.

Для того чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Перед этим упростим выражение, разложив числители и знаменатели на множители.

Исходное выражение:

$\frac{a^2 - 25}{2a^2} \cdot \frac{a}{2a - 10}$

1. Разложим на множители числитель первой дроби $a^2 - 25$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$a^2 - 25 = a^2 - 5^2 = (a - 5)(a + 5)$

2. Разложим на множители знаменатель второй дроби $2a - 10$. Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$2a - 10 = 2(a - 5)$

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(a - 5)(a + 5)}{2a^2} \cdot \frac{a}{2(a - 5)}$

4. Теперь можно выполнить умножение и сократить общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $a$ и $(a - 5)$:

$\frac{(a - 5)(a + 5) \cdot a}{2a^2 \cdot 2(a - 5)} = \frac{\cancel{(a - 5)}(a + 5) \cdot \cancel{a}}{2 \cdot a \cdot \cancel{a} \cdot 2 \cdot \cancel{(a - 5)}}$

5. После сокращения в числителе остается $(a + 5)$, а в знаменателе $2 \cdot a \cdot 2 = 4a$.

Таким образом, получаем итоговую дробь:

$\frac{a + 5}{4a}$

Ответ: $\frac{a + 5}{4a}$

8. Найдите значение выражения $ \frac{x+1}{7x-1} : \frac{x^2+x}{49x^2-14x+1} $,если $ x = \frac{1}{8} $.

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его. Исходное выражение:

$\frac{x+1}{7x-1} : \frac{x^2+x}{49x^2-14x+1}$

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби. В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2+x = x(x+1)$

Знаменатель $49x^2-14x+1$ представляет собой полный квадрат разности, который можно свернуть по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В данном случае $a=7x$ и $b=1$:

$49x^2-14x+1 = (7x)^2 - 2 \cdot 7x \cdot 1 + 1^2 = (7x-1)^2$

Теперь подставим разложенные выражения обратно в исходное:

$\frac{x+1}{7x-1} : \frac{x(x+1)}{(7x-1)^2}$

Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{x+1}{7x-1} \cdot \frac{(7x-1)^2}{x(x+1)}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Можно сократить $(x+1)$ и одну степень $(7x-1)$. Это допустимо, так как при $x = \frac{1}{8}$ эти множители не равны нулю.

$\frac{\cancel{(x+1)}}{\cancel{(7x-1)}} \cdot \frac{(7x-1)^{\cancel{2}}}{x\cancel{(x+1)}} = \frac{7x-1}{x}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $x = \frac{1}{8}$:

$\frac{7 \cdot \frac{1}{8} - 1}{\frac{1}{8}}$

Выполним вычисления в числителе:

$7 \cdot \frac{1}{8} - 1 = \frac{7}{8} - \frac{8}{8} = -\frac{1}{8}$

Теперь выполним деление:

$\frac{-\frac{1}{8}}{\frac{1}{8}} = -1$

Ответ: -1

9. Выполните деление: $(p - 11) : \frac{p^2 - 22p + 121}{p^2 - 121}$

Чтобы выполнить деление выражения на дробь, нужно это выражение умножить на дробь, обратную данной:

$(p - 11) : \frac{p^2 - 22p + 121}{p^2 - 121} = \frac{p - 11}{1} \cdot \frac{p^2 - 121}{p^2 - 22p + 121}$

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $p^2 - 121$ раскладывается по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$p^2 - 121 = p^2 - 11^2 = (p - 11)(p + 11)$

Знаменатель $p^2 - 22p + 121$ является полным квадратом и раскладывается по формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$:

$p^2 - 22p + 121 = p^2 - 2 \cdot p \cdot 11 + 11^2 = (p - 11)^2$

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{p - 11}{1} \cdot \frac{(p - 11)(p + 11)}{(p - 11)^2} = \frac{(p - 11)(p - 11)(p + 11)}{(p - 11)^2}$

Объединим множители в числителе:

$\frac{(p - 11)^2(p + 11)}{(p - 11)^2}$

Сократим дробь на общий множитель $(p - 11)^2$ (при условии, что $p \neq 11$):

$\frac{\cancel{(p - 11)^2}(p + 11)}{\cancel{(p - 11)^2}} = p + 11$

Ответ: $p + 11$.

10. Упростите выражение

$\frac{5 - \frac{3+b}{b}}{\frac{3}{b} - 4}$.

Для упрощения данного выражения, представляющего собой сложную дробь, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель, а затем выполнить деление.

1. Упрощение числителя:

Приведем выражение $5 - \frac{3+b}{b}$ к общему знаменателю $b$.

$$ 5 - \frac{3+b}{b} = \frac{5 \cdot b}{b} - \frac{3+b}{b} = \frac{5b - (3+b)}{b} $$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$$ \frac{5b - 3 - b}{b} = \frac{4b - 3}{b} $$

2. Упрощение знаменателя:

Приведем выражение $\frac{3}{b} - 4$ к общему знаменателю $b$.

$$ \frac{3}{b} - 4 = \frac{3}{b} - \frac{4 \cdot b}{b} = \frac{3 - 4b}{b} $$

3. Деление и финальное упрощение:

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходную дробь:

$$ \frac{\frac{4b - 3}{b}}{\frac{3 - 4b}{b}} $$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на перевернутую вторую:

$$ \frac{4b - 3}{b} \cdot \frac{b}{3 - 4b} $$

Сократим общий множитель $b$ в числителе и знаменателе (при условии, что $b \neq 0$):

$$ \frac{4b - 3}{3 - 4b} $$

Выражения в числителе и знаменателе отличаются только знаком. Вынесем $-1$ за скобки в знаменателе:

$$ 3 - 4b = -( -3 + 4b) = -(4b - 3) $$

Подставим это обратно в дробь:

$$ \frac{4b - 3}{-(4b - 3)} $$

Сократим общий множитель $(4b - 3)$ (при условии, что $4b-3 \neq 0$, то есть $b \neq \frac{3}{4}$):

$$ \frac{1}{-1} = -1 $$

Ответ: $-1$

11. Упростите выражение $\left(a + 2b + \frac{b^2}{a}\right) : \left(1 + \frac{b}{a}\right).$

Для упрощения выражения $\left(a + 2b + \frac{b^2}{a}\right) : \left(1 + \frac{b}{a}\right)$ выполним действия по шагам.

Сначала преобразуем выражение в первой скобке, приведя все члены к общему знаменателю $a$:

$a + 2b + \frac{b^2}{a} = \frac{a \cdot a}{a} + \frac{2b \cdot a}{a} + \frac{b^2}{a} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a}$

Числитель полученной дроби представляет собой формулу квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Таким образом, выражение в первой скобке равно $\frac{(a+b)^2}{a}$.

Теперь преобразуем выражение во второй скобке, также приведя к общему знаменателю $a$:

$1 + \frac{b}{a} = \frac{a}{a} + \frac{b}{a} = \frac{a+b}{a}$

Теперь выполним деление полученных выражений. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{(a+b)^2}{a} : \frac{a+b}{a} = \frac{(a+b)^2}{a} \cdot \frac{a}{a+b}$

Сократим общие множители $a$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(a+b)\cdot(a+b)}{a} \cdot \frac{a}{a+b} = a+b$

Данное упрощение справедливо при условии, что знаменатели исходных дробей не равны нулю, то есть $a \neq 0$, и делитель не равен нулю, то есть $1 + \frac{b}{a} \neq 0$, что означает $a+b \neq 0$.

Ответ: $a+b$

12. Найдите значение выражения

$\left( \frac{5}{x-2} - x - 2 \right) \cdot \frac{2-x}{x^2+6x+9}$, если $x = 97.$

Для того чтобы найти значение выражения, целесообразно сначала его упростить. Для этого выполним действия по порядку.

1. Упростим выражение в скобках.

Приведем все члены к общему знаменателю $(x-2)$:

$\frac{5}{x-2} - x - 2 = \frac{5}{x-2} - (x+2) = \frac{5}{x-2} - \frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$

В числителе второй дроби используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$\frac{5 - (x^2 - 4)}{x-2} = \frac{5 - x^2 + 4}{x-2} = \frac{9 - x^2}{x-2}$

2. Упростим второй множитель.

Второй множитель — это дробь $\frac{2-x}{x^2+6x+9}$.

В числителе вынесем знак минус за скобку: $2-x = -(x-2)$.

Знаменатель $x^2+6x+9$ является полным квадратом суммы, так как $x^2+2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Таким образом, второй множитель равен $\frac{-(x-2)}{(x+3)^2}$.

3. Перемножим полученные упрощенные выражения.

$\left(\frac{9 - x^2}{x-2}\right) \cdot \left(\frac{-(x-2)}{(x+3)^2}\right)$

Сократим $(x-2)$ в числителе первого множителя и знаменателе второго (при условии, что $x \neq 2$):

$(9 - x^2) \cdot \frac{-1}{(x+3)^2} = \frac{-(9-x^2)}{(x+3)^2} = \frac{x^2-9}{(x+3)^2}$

Разложим числитель $x^2-9$ на множители по формуле разности квадратов:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}$

Сократим дробь на $(x+3)$ (при условии, что $x \neq -3$):

$\frac{x-3}{x+3}$

4. Подставим значение $x=97$ в итоговое выражение.

$\frac{97-3}{97+3} = \frac{94}{100} = 0.94$

Ответ: 0.94