Страница 113 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из приведённых рациональных дробей тожде- ственно равна произведению $\frac{a}{c} \cdot \frac{ac}{b}$?

1) $\frac{a^2 c}{b}$

2) $\frac{a^2}{b}$

3) $\frac{2a}{b}$

4) $\frac{ac}{b}$

Чтобы найти, какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению, необходимо выполнить умножение этих дробей и упростить полученное выражение.

Исходное выражение:

$ \frac{a}{c} \cdot \frac{ac}{b} $

При умножении дробей их числители перемножаются между собой, и их знаменатели также перемножаются между собой:

$ \frac{a \cdot (ac)}{c \cdot b} = \frac{a^2c}{cb} $

Теперь сократим полученную дробь. В числителе и знаменателе есть общий множитель $c$. Сократив дробь на $c$ (при условии, что $c \neq 0$), получаем:

$ \frac{a^2 \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a^2}{b} $

Полученный результат, $ \frac{a^2}{b} $, соответствует варианту ответа под номером 2.

Ответ: 2) $ \frac{a^2}{b} $

2. Выполните умножение: $7m^4n^2 \cdot \frac{2}{13m^2n^3}$

1) $\frac{14m^2n}{13}$

2) $\frac{14m^6n^5}{13}$

3) $\frac{14}{13m^2n}$

4) $\frac{14m^2}{13n}$

Решение:

Чтобы выполнить умножение одночлена на алгебраическую дробь, нужно представить одночлен в виде дроби со знаменателем 1, а затем выполнить умножение дробей.

Исходное выражение:

$$7m^4n^2 \cdot \frac{2}{13m^2n^3}$$

Представим одночлен $7m^4n^2$ в виде дроби:

$$\frac{7m^4n^2}{1} \cdot \frac{2}{13m^2n^3}$$

Перемножим числители и знаменатели дробей:

$$\frac{7m^4n^2 \cdot 2}{1 \cdot 13m^2n^3} = \frac{14m^4n^2}{13m^2n^3}$$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого используем правило деления степеней с одинаковыми основаниями: $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$.

Сокращаем степени переменной $m$:

$$\frac{m^4}{m^2} = m^{4-2} = m^2$$

Сокращаем степени переменной $n$:

$$\frac{n^2}{n^3} = n^{2-3} = n^{-1} = \frac{1}{n}$$

Собираем все части вместе:

$$\frac{14}{13} \cdot m^2 \cdot \frac{1}{n} = \frac{14m^2}{13n}$$

Полученный результат соответствует варианту ответа под номером 4).

Ответ: 4) $\frac{14m^2}{13n}$

3. Выполните деление: $(\frac{m^3}{n})^4 : (\frac{m}{n^2})^2$

1) $m^6$

2) $m^{10}$

3) $\frac{m^6}{n}$

4) $m^{10}n$

Чтобы выполнить деление, сначала упростим каждое выражение в скобках, используя свойства степеней $(\frac{a}{b})^k = \frac{a^k}{b^k}$ и $(a^x)^y = a^{xy}$.

1. Упростим первое выражение, возведя дробь в четвертую степень:

$(\frac{m^3}{n})^4 = \frac{(m^3)^4}{n^4} = \frac{m^{3 \cdot 4}}{n^4} = \frac{m^{12}}{n^4}$

2. Упростим второе выражение, возведя дробь во вторую степень:

$(\frac{m}{n^2})^2 = \frac{m^2}{(n^2)^2} = \frac{m^2}{n^{2 \cdot 2}} = \frac{m^2}{n^4}$

3. Теперь выполним деление полученных дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{m^{12}}{n^4} : \frac{m^2}{n^4} = \frac{m^{12}}{n^4} \cdot \frac{n^4}{m^2}$

4. Умножим дроби и сократим одинаковые множители $n^4$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m^{12} \cdot n^4}{n^4 \cdot m^2} = \frac{m^{12}}{m^2}$

5. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y}$:

$\frac{m^{12}}{m^2} = m^{12-2} = m^{10}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 2.

Ответ: 2) $m^{10}$

4. Упростите выражение

$\frac{8x - 56}{x^2 + 4x} : \frac{x - 7}{2x + 8}$

1) $\frac{4}{x}$

2) $4x$

3) $\frac{16}{x}$

4) $16x$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление алгебраических дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей (перевернутую) дробь.

1. Замена деления умножением

Исходное выражение: $ \frac{8x - 56}{x^2 + 4x} : \frac{x - 7}{2x + 8} $.
Заменяем деление на умножение: $$ \frac{8x - 56}{x^2 + 4x} \cdot \frac{2x + 8}{x - 7} $$

2. Разложение на множители

Разложим числители и знаменатели на множители, вынося общий множитель за скобки, для последующего сокращения:

$8x - 56 = 8(x - 7)$
$x^2 + 4x = x(x + 4)$
$2x + 8 = 2(x + 4)$

3. Подстановка и сокращение

Подставим разложенные выражения обратно в произведение и сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$$ \frac{8(x - 7)}{x(x + 4)} \cdot \frac{2(x + 4)}{x - 7} $$

Сокращаем $(x - 7)$ и $(x + 4)$. Это возможно при условии, что $x \neq 7$, $x \neq -4$ и $x \neq 0$.

$$ \frac{8\cancel{(x - 7)}}{x\cancel{(x + 4)}} \cdot \frac{2\cancel{(x + 4)}}{\cancel{(x - 7)}} $$

4. Вычисление результата

После сокращения перемножаем оставшиеся части:

$$ \frac{8}{x} \cdot \frac{2}{1} = \frac{8 \cdot 2}{x \cdot 1} = \frac{16}{x} $$

Ответ: 3) $\frac{16}{x}$

5. Какому числу при всех допустимых значениях с равно значение выражения $\left(\frac{16c}{c^2 - 64} - \frac{8}{c+8}\right) : \left(\frac{7c-8}{c-8} - 7\right)$?

1) 6

2) $\frac{1}{6}$

3) -6

4) $-\frac{1}{6}$

Чтобы найти, какому числу равно значение выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять преобразования по действиям.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) переменной c. Знаменатели дробей в выражении не могут быть равны нулю:

$c^2 - 64 \neq 0 \implies (c - 8)(c + 8) \neq 0 \implies c \neq 8$ и $c \neq -8$.
$c + 8 \neq 0 \implies c \neq -8$.
$c - 8 \neq 0 \implies c \neq 8$.

Также необходимо, чтобы делитель не был равен нулю:

$\frac{7c - 8}{c - 8} - 7 \neq 0$
$\frac{7c - 8 - 7(c - 8)}{c - 8} \neq 0$
$\frac{7c - 8 - 7c + 56}{c - 8} \neq 0$
$\frac{48}{c - 8} \neq 0$

Это неравенство выполняется для всех c, при которых оно определено (т.е. $c \neq 8$), так как числитель 48 не равен нулю. Таким образом, ОДЗ: $c \neq 8$ и $c \neq -8$.

Теперь выполним действия в скобках.

1. Упростим выражение в первых скобках (делимое):

$\frac{16c}{c^2 - 64} - \frac{8}{c + 8} = \frac{16c}{(c - 8)(c + 8)} - \frac{8(c - 8)}{(c + 8)(c - 8)} = \frac{16c - 8(c - 8)}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{16c - 8c + 64}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{8c + 64}{(c - 8)(c + 8)} = \frac{8(c + 8)}{(c - 8)(c + 8)}$

Сокращая на $(c+8)$, получаем:

$\frac{8}{c - 8}$

2. Упростим выражение во вторых скобках (делитель):

$\frac{7c - 8}{c - 8} - 7 = \frac{7c - 8 - 7(c - 8)}{c - 8} = \frac{7c - 8 - 7c + 56}{c - 8} = \frac{48}{c - 8}$

3. Выполним деление результатов:

$\left(\frac{8}{c - 8}\right) : \left(\frac{48}{c - 8}\right) = \frac{8}{c - 8} \cdot \frac{c - 8}{48}$

Сокращая на $(c-8)$, получаем:

$\frac{8}{48} = \frac{1}{6}$

Таким образом, при всех допустимых значениях c значение выражения равно $\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $a - \frac{2a}{a+2} : \frac{a^2}{a^2+4a+4}$

Б) $\left(\frac{1}{a-2} - \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a-2}$

В) $a + \frac{2a}{a-2} : a^2$

Тождественно равное выражение

1) $\frac{1}{a+2}$

2) $\frac{1}{a-2}$

3) $a+2$

4) $a-2$

5) $2-a$

Упростим данное выражение. Сначала выполним действие в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(a + 2)$:
$a - \frac{2a}{a + 2} = \frac{a(a + 2)}{a + 2} - \frac{2a}{a + 2} = \frac{a^2 + 2a - 2a}{a + 2} = \frac{a^2}{a + 2}$
Теперь рассмотрим делитель. Его знаменатель $a^2 + 4a + 4$ является формулой квадрата суммы: $(a+2)^2$. Таким образом, делитель равен $\frac{a^2}{(a + 2)^2}$.
Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$\frac{a^2}{a + 2} : \frac{a^2}{(a + 2)^2} = \frac{a^2}{a + 2} \cdot \frac{(a + 2)^2}{a^2}$
Сократим общие множители $a^2$ и $(a + 2)$:
$\frac{1}{1} \cdot \frac{a + 2}{1} = a + 2$
Полученное выражение соответствует варианту 3).

Ответ: 3

Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a - 2)(a + 2)$:
$\frac{1}{a - 2} - \frac{1}{a + 2} = \frac{1 \cdot (a + 2)}{(a - 2)(a + 2)} - \frac{1 \cdot (a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{(a + 2) - (a - 2)}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{a + 2 - a + 2}{(a - 2)(a + 2)} = \frac{4}{(a - 2)(a + 2)}$
Теперь выполним деление на дробь $\frac{4}{a - 2}$, заменив его умножением на обратную дробь:
$\frac{4}{(a - 2)(a + 2)} : \frac{4}{a - 2} = \frac{4}{(a - 2)(a + 2)} \cdot \frac{a - 2}{4}$
Сократим общие множители 4 и $(a - 2)$:
$\frac{1}{a + 2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{a + 2}$
Полученное выражение соответствует варианту 1).

Ответ: 1

Упростим выражение в скобках, приведя слагаемые к общему знаменателю $(a - 2)$:
$a + \frac{2a}{a - 2} = \frac{a(a - 2)}{a - 2} + \frac{2a}{a - 2} = \frac{a^2 - 2a + 2a}{a - 2} = \frac{a^2}{a - 2}$
Теперь выполним деление на $a^2$:
$\frac{a^2}{a - 2} : a^2 = \frac{a^2}{a - 2} \cdot \frac{1}{a^2}$
Сократим общий множитель $a^2$:
$\frac{1}{a - 2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{a - 2}$
Полученное выражение соответствует варианту 2).

Ответ: 2