Страница 119 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Порядок числа $a$ равен $-4$. Определите порядок числа $0,01a$.

Порядок числа – это показатель степени множителя 10 в стандартной записи числа. Стандартная запись числа имеет вид $a = m \times 10^n$, где $1 \le |m| < 10$, а целое число $n$ является порядком числа.

Из условия задачи известно, что порядок числа $a$ равен -4. Это означает, что число $a$ можно записать в стандартном виде как:

$a = m_1 \times 10^{-4}$, где $1 \le |m_1| < 10$.

Теперь найдем порядок числа $0,01a$. Для этого выразим это число через стандартную запись числа $a$.

Сначала представим число 0,01 в виде степени 10:

$0,01 = 1 \times 10^{-2}$.

Теперь выполним умножение:

$0,01a = (1 \times 10^{-2}) \times (m_1 \times 10^{-4})$

Перегруппируем множители и воспользуемся свойством степеней ($x^p \cdot x^q = x^{p+q}$):

$0,01a = (1 \times m_1) \times (10^{-2} \times 10^{-4}) = m_1 \times 10^{-2+(-4)} = m_1 \times 10^{-6}$

Мы получили выражение $m_1 \times 10^{-6}$. Так как $m_1$ по-прежнему удовлетворяет условию $1 \le |m_1| < 10$, это и есть стандартная запись числа $0,01a$.

Порядок этого числа равен показателю степени у 10, то есть -6.

Ответ: -6

9. Упростите выражение

$7^{-3} a^8 b^{-10} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2} a^{-6} b^7$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Запишем исходное выражение:

$$7^{-3}a^8b^{-10} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}a^{-6}b^7$$

1. Сгруппируем множители по основаниям:

$$ \left(7^{-3} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}\right) \cdot (a^8 \cdot a^{-6}) \cdot (b^{-10} \cdot b^7) $$

2. Упростим числовые множители:

Сначала преобразуем второй множитель, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$. Так как показатель степени $-2$ является четным числом, знак минус можно опустить:

$$ \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2} = \left(-\frac{7}{1}\right)^{2} = (-7)^2 = 49 = 7^2 $$

Теперь перемножим числовые коэффициенты, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ 7^{-3} \cdot 7^2 = 7^{-3+2} = 7^{-1} $$

3. Упростим множители с основанием a:

Используем то же свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ a^8 \cdot a^{-6} = a^{8+(-6)} = a^{8-6} = a^2 $$

4. Упростим множители с основанием b:

$$ b^{-10} \cdot b^7 = b^{-10+7} = b^{-3} $$

5. Объединим полученные результаты:

$$ 7^{-1} \cdot a^2 \cdot b^{-3} $$

6. Запишем итоговое выражение без отрицательных степеней:

Используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для членов с отрицательным показателем:

$$ 7^{-1} = \frac{1}{7} \quad \text{и} \quad b^{-3} = \frac{1}{b^3} $$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$ \frac{1}{7} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} = \frac{a^2}{7b^3} $$

Ответ: $\frac{a^2}{7b^3}$

10. Найдите значение выражения $\frac{a^{47} \cdot a^{-14}}{a^{35}}$ при $a = 0,2$.

Сначала упростим данное выражение, используя свойства степеней.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Применим это правило к числителю дроби:

$a^{47} \cdot a^{-14} = a^{47 + (-14)} = a^{47 - 14} = a^{33}$

Теперь выражение выглядит так: $\frac{a^{33}}{a^{35}}$

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
Упростим полученную дробь:

$\frac{a^{33}}{a^{35}} = a^{33 - 35} = a^{-2}$

3. Степень с отрицательным показателем равна единице, деленной на степень с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Таким образом, $a^{-2} = \frac{1}{a^2}$.

4. Теперь подставим значение $a = 0,2$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{a^2} = \frac{1}{(0,2)^2} = \frac{1}{0,04}$

5. Выполним деление. Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, можно умножить числитель и знаменатель на 100:

$\frac{1 \cdot 100}{0,04 \cdot 100} = \frac{100}{4} = 25$

Ответ: 25

11. Вычислите площадь прямоугольника со сторонами $8 \cdot 10^{-2}$ м и $1,5 \cdot 10^{-1}$ м и запишите результат в стандартном виде.

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле произведения его сторон ($a$ и $b$):

$S = a \cdot b$

В данном случае стороны равны $a = 8 \cdot 10^{-2}$ м и $b = 1.5 \cdot 10^{-1}$ м.

Подставим значения в формулу:

$S = (8 \cdot 10^{-2}) \cdot (1.5 \cdot 10^{-1})$

Чтобы найти произведение, перемножим отдельно числовые части и степени десяти:

$S = (8 \cdot 1.5) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{-1})$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 1.5 = 12$

$10^{-2} \cdot 10^{-1} = 10^{-2 + (-1)} = 10^{-3}$

Таким образом, площадь равна:

$S = 12 \cdot 10^{-3}$ м²

Теперь необходимо записать результат в стандартном виде. Стандартный вид числа — это его запись в виде $A \cdot 10^n$, где $1 \le A < 10$ и $n$ — целое число. Число 12 не удовлетворяет условию $1 \le A < 10$.

Представим число 12 в стандартном виде: $12 = 1.2 \cdot 10^1$.

Подставим это значение обратно в выражение для площади:

$S = (1.2 \cdot 10^1) \cdot 10^{-3} = 1.2 \cdot 10^{1 + (-3)} = 1.2 \cdot 10^{-2}$

Площадь прямоугольника равна $1.2 \cdot 10^{-2}$ м².

Ответ: $1.2 \cdot 10^{-2}$ м².

12. Какое из чисел $(\frac{7}{8})^{-4}$, $\frac{7}{8}$ и $(\frac{8}{7})^{-4}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел $ (\frac{7}{8})^{-4} $, $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{8}{7})^{-4} $ является наибольшим, преобразуем выражения с отрицательной степенью, используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

1. Преобразуем первое число: $ (\frac{7}{8})^{-4} = (\frac{8}{7})^4 $.

2. Второе число $ \frac{7}{8} $ оставляем без изменений.

3. Преобразуем третье число: $ (\frac{8}{7})^{-4} = (\frac{7}{8})^4 $.

Теперь нам нужно сравнить три числа в их преобразованном виде: $ (\frac{8}{7})^4 $, $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{7}{8})^4 $.

Проанализируем каждое из них:

Число $ \frac{8}{7} $ является неправильной дробью, так как числитель больше знаменателя, следовательно, $ \frac{8}{7} > 1 $. При возведении числа, большего единицы, в любую положительную степень (в данном случае в степень 4), результат всегда будет больше единицы. Таким образом, $ (\frac{8}{7})^4 > 1 $.

Число $ \frac{7}{8} $ является правильной дробью, так как числитель меньше знаменателя, следовательно, $ 0 < \frac{7}{8} < 1 $.

Для числа $ (\frac{7}{8})^4 $ основание степени $ \frac{7}{8} $ меньше единицы. При возведении положительного числа, меньшего единицы, в степень, большую 1, результат становится еще меньше исходного числа. Значит, $ (\frac{7}{8})^4 < \frac{7}{8} $. Так как $ \frac{7}{8} < 1 $, то и $ (\frac{7}{8})^4 < 1 $.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $ (\frac{8}{7})^4 $ — единственное число, которое больше 1, в то время как $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{7}{8})^4 $ оба меньше 1. Следовательно, $ (\frac{8}{7})^4 $ является наибольшим из трех чисел.

Это значение соответствует исходному числу $ (\frac{7}{8})^{-4} $.

Ответ: $ (\frac{7}{8})^{-4} $.