Номер 12, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Какое из чисел $(\frac{7}{8})^{-4}$, $\frac{7}{8}$ и $(\frac{8}{7})^{-4}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел $ (\frac{7}{8})^{-4} $, $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{8}{7})^{-4} $ является наибольшим, преобразуем выражения с отрицательной степенью, используя свойство $ (\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n $.

1. Преобразуем первое число: $ (\frac{7}{8})^{-4} = (\frac{8}{7})^4 $.

2. Второе число $ \frac{7}{8} $ оставляем без изменений.

3. Преобразуем третье число: $ (\frac{8}{7})^{-4} = (\frac{7}{8})^4 $.

Теперь нам нужно сравнить три числа в их преобразованном виде: $ (\frac{8}{7})^4 $, $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{7}{8})^4 $.

Проанализируем каждое из них:

Число $ \frac{8}{7} $ является неправильной дробью, так как числитель больше знаменателя, следовательно, $ \frac{8}{7} > 1 $. При возведении числа, большего единицы, в любую положительную степень (в данном случае в степень 4), результат всегда будет больше единицы. Таким образом, $ (\frac{8}{7})^4 > 1 $.

Число $ \frac{7}{8} $ является правильной дробью, так как числитель меньше знаменателя, следовательно, $ 0 < \frac{7}{8} < 1 $.

Для числа $ (\frac{7}{8})^4 $ основание степени $ \frac{7}{8} $ меньше единицы. При возведении положительного числа, меньшего единицы, в степень, большую 1, результат становится еще меньше исходного числа. Значит, $ (\frac{7}{8})^4 < \frac{7}{8} $. Так как $ \frac{7}{8} < 1 $, то и $ (\frac{7}{8})^4 < 1 $.

Сравнивая полученные результаты, мы видим, что $ (\frac{8}{7})^4 $ — единственное число, которое больше 1, в то время как $ \frac{7}{8} $ и $ (\frac{7}{8})^4 $ оба меньше 1. Следовательно, $ (\frac{8}{7})^4 $ является наибольшим из трех чисел.

Это значение соответствует исходному числу $ (\frac{7}{8})^{-4} $.

Ответ: $ (\frac{7}{8})^{-4} $.