Номер 9, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

9. Упростите выражение

$7^{-3} a^8 b^{-10} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2} a^{-6} b^7$ и запишите результат в виде рационального выражения, не содержащего степени с отрицательным показателем.

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. Запишем исходное выражение:

$$7^{-3}a^8b^{-10} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}a^{-6}b^7$$

1. Сгруппируем множители по основаниям:

$$ \left(7^{-3} \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}\right) \cdot (a^8 \cdot a^{-6}) \cdot (b^{-10} \cdot b^7) $$

2. Упростим числовые множители:

Сначала преобразуем второй множитель, используя свойство $(\frac{x}{y})^{-n} = (\frac{y}{x})^n$. Так как показатель степени $-2$ является четным числом, знак минус можно опустить:

$$ \left(-\frac{1}{7}\right)^{-2} = \left(-\frac{7}{1}\right)^{2} = (-7)^2 = 49 = 7^2 $$

Теперь перемножим числовые коэффициенты, используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ 7^{-3} \cdot 7^2 = 7^{-3+2} = 7^{-1} $$

3. Упростим множители с основанием a:

Используем то же свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$$ a^8 \cdot a^{-6} = a^{8+(-6)} = a^{8-6} = a^2 $$

4. Упростим множители с основанием b:

$$ b^{-10} \cdot b^7 = b^{-10+7} = b^{-3} $$

5. Объединим полученные результаты:

$$ 7^{-1} \cdot a^2 \cdot b^{-3} $$

6. Запишем итоговое выражение без отрицательных степеней:

Используем свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ для членов с отрицательным показателем:

$$ 7^{-1} = \frac{1}{7} \quad \text{и} \quad b^{-3} = \frac{1}{b^3} $$

Таким образом, выражение принимает вид:

$$ \frac{1}{7} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} = \frac{a^2}{7b^3} $$

Ответ: $\frac{a^2}{7b^3}$