Страница 126 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из данных уравнений имеет бесконечно много корней?

1) $\frac{x-5}{x+5} = 0$

2) $\frac{x-5}{x-5} = 1$

3) $\frac{x-5}{x+5} = 1$

4) $\frac{x-5}{x^2-25} = 0$

Для того чтобы определить, какое из предложенных уравнений имеет бесконечно много корней, необходимо проанализировать каждое из них.

1) $\frac{x-5}{x+5} = 0$

Дробное уравнение равно нулю тогда и только тогда, когда его числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Запишем это в виде системы:

$\begin{cases}x - 5 = 0 \\x + 5 \neq 0\end{cases}$

Из первого уравнения системы находим, что $x = 5$.

Подставим это значение во второе условие, чтобы проверить его: $5 + 5 = 10$, что действительно не равно нулю ($10 \neq 0$).

Следовательно, уравнение имеет ровно один корень.

Ответ: уравнение имеет один корень ($x=5$).

2) $\frac{x-5}{x-5} = 1$

Это уравнение является тождеством для всех значений переменной $x$, при которых выражение в левой части определено. Выражение определено, если его знаменатель не равен нулю.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$x - 5 \neq 0$

$x \neq 5$

Таким образом, равенство верно для любого действительного числа $x$, за исключением $x=5$. Множество решений этого уравнения — это объединение интервалов $(-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Следовательно, данное уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ: уравнение имеет бесконечно много корней.

3) $\frac{x-5}{x+5} = 1$

Найдем ОДЗ: знаменатель не должен быть равен нулю.

$x + 5 \neq 0$

$x \neq -5$

На ОДЗ мы можем умножить обе части уравнения на знаменатель $(x+5)$:

$x - 5 = 1 \cdot (x + 5)$

$x - 5 = x + 5$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$x - x = 5 + 5$

$0 = 10$

Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет корней.

4) $\frac{x-5}{x^2-25} = 0$

Уравнение равно нулю, если его числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Приравняем числитель к нулю:

$x - 5 = 0 \implies x = 5$

2. Проверим условие неравенства знаменателя нулю:

$x^2 - 25 \neq 0$

Используем формулу разности квадратов: $(x-5)(x+5) \neq 0$.

Это означает, что $x \neq 5$ и $x \neq -5$.

Потенциальный корень $x=5$, полученный из числителя, не удовлетворяет ОДЗ (так как $x$ не может быть равен 5). Следовательно, решений у уравнения нет.

Ответ: уравнение не имеет корней.

Проанализировав все четыре уравнения, мы приходим к выводу, что бесконечное множество корней имеет только уравнение под номером 2.

2. Укажите рисунок, на котором изображён график функции $y = \frac{9}{x}$.

1) 2) 3) 4)

Заданная функция $y = \frac{9}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является гипербола.

Общий вид функции обратной пропорциональности — $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$. В нашем случае коэффициент $k = 9$.

Поскольку коэффициент $k = 9 > 0$, ветви гиперболы должны быть расположены в первой и третьей координатных четвертях.

Рассмотрим предложенные варианты:

Графики на рисунках 2 и 3 не подходят, так как на них ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях, что соответствует случаю $k < 0$.

Графики на рисунках 1 и 4 соответствуют условию $k > 0$, так как их ветви находятся в первой и третьей четвертях.

Чтобы выбрать правильный график из оставшихся двух, найдем координаты конкретной точки, принадлежащей графику функции $y = \frac{9}{x}$. Возьмем, к примеру, значение $x = 3$.

$y(3) = \frac{9}{3} = 3$

Следовательно, точка с координатами $(3; 3)$ должна лежать на искомом графике.

Теперь проверим, на каком из рисунков (1 или 4) график проходит через эту точку.

На рисунке 1 мы видим, что при $x = 3$ значение $y$ действительно равно 3.

На рисунке 4 при $x = 3$ значение $y$ заметно меньше 1.

Таким образом, правильный график изображен на рисунке 1.

Ответ: 1.