Страница 120 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из данных уравнений имеет один корень?

1) $\frac{x+4}{x+4} = 0$

2) $\frac{x^2 - 16}{x+4} = 0$

3) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = 0$

4) $\frac{x^2 + 4}{x+4} = 0$

Для того чтобы дробь равнялась нулю, необходимо, чтобы её числитель был равен нулю, а знаменатель при этом не был равен нулю. Проанализируем каждое уравнение.

1) $\frac{x+4}{x+4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x + 4 = 0 \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x = -4$. Однако это значение противоречит второму условию ($x \neq -4$). Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: нет корней.

2) $\frac{x^2 - 16}{x+4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^2 - 16 = 0 \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение: $x^2 - 16 = 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 4$, $x_2 = -4$.
Теперь проверим выполнение второго условия $x + 4 \neq 0$, то есть $x \neq -4$.
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет этому условию.
Корень $x_2 = -4$ не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним.
Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: один корень.

3) $\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x^2 + 4 \neq 0 \end{cases} $
Решим первое уравнение: $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x-2)(x+2) = 0$. Корни этого уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = -2$.
Второе условие $x^2 + 4 \neq 0$ выполняется для любого действительного числа $x$, так как $x^2 \ge 0$, а значит $x^2+4 \ge 4$.
Следовательно, оба корня $x=2$ и $x=-2$ являются решениями исходного уравнения.

Ответ: два корня.

4) $\frac{x^2 + 4}{x+4} = 0$

Данное уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x^2 + 4 = 0 \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение: $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. В области действительных чисел это уравнение корней не имеет, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Поскольку числитель дроби никогда не равен нулю, то и сама дробь никогда не равна нулю.

Ответ: нет корней.

Таким образом, проанализировав все варианты, мы заключаем, что только уравнение под номером 2 имеет ровно один корень.

2. Укажите рисунок, на котором изображён график функции $y = \frac{8}{x}$.

1) 2) 3) 4)

Данная функция $y = \frac{8}{x}$ является обратной пропорциональностью. Графиком такой функции является гипербола.

Общий вид функции обратной пропорциональности — $y = \frac{k}{x}$. В нашем случае коэффициент $k=8$.

Поскольку коэффициент $k = 8$ положителен ($k > 0$), ветви гиперболы должны быть расположены в I и III координатных четвертях. Этому условию удовлетворяют графики, представленные на рисунках 1 и 3. Графики на рисунках 2 и 4 не подходят, так как их ветви расположены во II и IV четвертях, что соответствует случаю $k < 0$.

Теперь необходимо выбрать между рисунками 1 и 3. Для этого найдём координаты любой точки, принадлежащей графику функции $y = \frac{8}{x}$. Возьмем удобное значение $x$, например, $x=4$.

Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = \frac{8}{4} = 2$

Таким образом, точка с координатами $(4; 2)$ должна лежать на искомом графике.

Проверим, на каком из оставшихся графиков (1 или 3) находится эта точка:

• Рисунок 1: Находим на оси абсцисс значение $x=4$ (четыре клетки вправо от начала координат) и поднимаемся до пересечения с графиком. Видим, что ордината этой точки равна $y=2$ (две клетки вверх). Следовательно, точка $(4; 2)$ принадлежит этому графику.
• Рисунок 3: Находим на оси абсцисс значение $x=4$. Ордината соответствующей точки на графике примерно равна $y=0.5$. Этот график не подходит. (Для этого графика при $x=2$ $y=1$, значит, это график функции $y=\frac{2}{x}$).

Итак, график, изображённый на рисунке 1, соответствует функции $y = \frac{8}{x}$.

Ответ: 1