Страница 127 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Какое из приведённых выражений тождественно равно степени $15^{k-8}$?

1) $(15^k)^{-3}$

2) $15^k - 15^8$

3) $\frac{15^k}{15^8}$

4) $\frac{15^k}{15^{-8}}$

Чтобы найти выражение, тождественно равное степени $15^{k-8}$, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов, используя свойства степеней.

Основное свойство, которое нам понадобится, — это правило деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Исходя из этого правила, выражение $15^{k-8}$ можно представить в виде частного $\frac{15^k}{15^8}$.

Теперь рассмотрим каждый вариант:

1) $(15^k)^{-3}$

Согласно правилу возведения степени в степень, показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(15^k)^{-3} = 15^{k \cdot (-3)} = 15^{-3k}$.

Это выражение не равно $15^{k-8}$.

2) $15^k - 15^8$

Это разность двух степеней. Не существует общего правила для преобразования разности степеней $a^m - a^n$ в одну степень вида $a^{m-n}$. Это выражение не равно $15^{k-8}$.

3) $\frac{15^k}{15^8}$

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием, получаем:

$\frac{15^k}{15^8} = 15^{k-8}$.

Это выражение тождественно равно исходному.

4) $\frac{15^k}{15^{-8}}$

Применяем то же правило деления степеней. Обратите внимание на знак в показателе знаменателя:

$\frac{15^k}{15^{-8}} = 15^{k - (-8)} = 15^{k+8}$.

Это выражение не равно $15^{k-8}$.

Таким образом, единственное выражение, которое тождественно равно $15^{k-8}$, — это выражение под номером 3.

Ответ: 3

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $ - \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = (*)^{-3} $, чтобы образовалось тождество.

1) $ - \frac{1}{7} x^3 y^{-7} $

2) $ - 7 x^3 y^{-7} $

3) $ - \frac{1}{7} x^{-3} y^7 $

4) $ - 7 x^{-3} y^7 $

Для того чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, обозначим это выражение как $A$. Исходное тождество имеет вид: $$ \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = (A)^{-3} $$

Чтобы найти $A$, необходимо представить левую часть уравнения в виде некоторого выражения, возведённого в степень $-3$. Для этого преобразуем каждый множитель в левой части уравнения.

1. Преобразуем числовой коэффициент. Поскольку $7^3 = 343$, то: $$ \frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3} $$

2. Преобразуем переменную $x$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, найдём такое $m$, что $(x^m)^{-3} = x^9$: $$ m \cdot (-3) = 9 \implies m = \frac{9}{-3} = -3 $$ Следовательно, $x^9 = (x^{-3})^{-3}$.

3. Преобразуем переменную $y$. Аналогично, найдём такое $k$, что $(y^k)^{-3} = y^{-21}$: $$ k \cdot (-3) = -21 \implies k = \frac{-21}{-3} = 7 $$ Следовательно, $y^{-21} = (y^7)^{-3}$.

Теперь объединим все преобразованные части, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$: $$ \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = 7^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^7)^{-3} = (7x^{-3}y^7)^{-3} $$

Таким образом, исходное тождество принимает вид: $$ (7x^{-3}y^7)^{-3} = (A)^{-3} $$ Отсюда следует, что искомое выражение $A$ равно $7x^{-3}y^7$.

Сравнив полученный результат $7x^{-3}y^7$ с предложенными вариантами ответов, мы видим, что точного совпадения нет. Все предложенные варианты являются отрицательными. Вариант 4) $-7x^{-3}y^7$ имеет тот же модуль коэффициента и те же показатели степеней у переменных, что и в нашем решении.

Проверим, что получится, если подставить выражение из варианта 4) в правую часть уравнения. Поскольку степень $-3$ нечетная, знак минус сохранится: $$ (-7x^{-3}y^7)^{-3} = (-7)^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^7)^{-3} = \frac{1}{(-7)^3} x^9 y^{-21} = -\frac{1}{343}x^9y^{-21} $$ Полученный результат $-\frac{1}{343}x^9y^{-21}$ отличается от левой части исходного уравнения $\frac{1}{343}x^9y^{-21}$ знаком. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи (в левой части должен был стоять знак "минус", либо в варианте ответа его быть не должно).

Тем не менее, при выборе из предложенных вариантов, единственным, который соответствует правильным степеням переменных ($x^{-3}$ и $y^7$) и правильному модулю коэффициента ($7$), является вариант 4).

Ответ: 4) $-7x^{-3}y^7$

5. Площадь Иркутской области — 774,8 тыс. $км^2$. Как записывают эту величину в стандартном виде?

1) $0,7748 \cdot 10^6 \text{ км}^2$

2) $7,748 \cdot 10^6 \text{ км}^2$

3) $7,748 \cdot 10^4 \text{ км}^2$

4) $7,748 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число.

В условии задачи указана площадь $774,8$ тыс. км². Приставка "тыс." означает "тысяча", то есть умножение на $1000$ или $10^3$. Запишем значение площади в виде обычного числа:

$774,8 \text{ тыс. км}^2 = 774,8 \cdot 1000 \text{ км}^2 = 774800 \text{ км}^2$.

Теперь представим число $774800$ в стандартном виде. Для этого необходимо, чтобы множитель $a$ находился в диапазоне $[1; 10)$. Мы должны переместить десятичную запятую так, чтобы слева от нее была только одна ненулевая цифра. В числе $774800$ запятая находится в конце ($774800,$). Переместим ее влево на 5 позиций, чтобы получить $7,748$.

Так как мы уменьшили число $774800$ в $10^5$ раз (перенесли запятую на 5 знаков влево), то для сохранения равенства нужно умножить полученное число $7,748$ на $10^5$.

$774800 = 7,748 \cdot 10^5$.

Следовательно, площадь Иркутской области в стандартном виде равна $7,748 \cdot 10^5$ км². Этот вариант соответствует ответу под номером 4.

Ответ: 4) $7,748 \cdot 10^5 \text{ км}^2$

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

А) $m^{-2} \cdot m^{-3}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней их показатели складываются: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$m^{-2} \cdot m^{-3} = m^{-2 + (-3)} = m^{-5}$

Далее, используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$m^{-5} = \frac{1}{m^5}$

Данное выражение соответствует варианту 2) из правого столбца.

Ответ: 2

Б) $m^{-2} : m^{-3}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^x : a^y = a^{x-y}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$m^{-2} : m^{-3} = m^{-2 - (-3)} = m^{-2 + 3} = m^1 = m$

Данное выражение соответствует варианту 3) из правого столбца.

Ответ: 3

В) $(m^{-2})^3$

Для упрощения этого выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.

Применим это правило к нашему выражению:

$(m^{-2})^3 = m^{-2 \cdot 3} = m^{-6}$

Используем определение степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$m^{-6} = \frac{1}{m^6}$

Данное выражение соответствует варианту 1) из правого столбца.

Ответ: 1

7. Решите уравнение $\frac{x^2 - 8x}{x^2 - 16x + 64} = 0$.

Данное уравнение является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.

Сначала приравняем числитель к нулю, чтобы найти возможные корни уравнения:

$x^2 - 8x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 8) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 8$.

Теперь необходимо проверить, не обращается ли знаменатель в ноль при этих значениях $x$. Это условие называется областью допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен быть равен нулю:

$x^2 - 16x + 64 \neq 0$

Выражение в левой части является полным квадратом разности, так как $x^2 - 16x + 64 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = (x - 8)^2$.

Таким образом, условие ОДЗ принимает вид:

$(x - 8)^2 \neq 0$

Это означает, что $x - 8 \neq 0$, следовательно, $x \neq 8$.

Теперь сопоставим найденные возможные корни с ОДЗ. Корень $x = 8$ не удовлетворяет условию $x \neq 8$, поэтому он является посторонним корнем и его необходимо исключить. Корень $x = 0$ удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: 0