Страница 133 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,0036}$, $\sqrt{0,36}$, $\sqrt{360}$, $\sqrt{3600}$ является иррациональным?

1) $\sqrt{0,0036}$

2) $\sqrt{0,36}$

3) $\sqrt{360}$

4) $\sqrt{3600}$

Чтобы определить, какое из чисел является иррациональным, необходимо проверить, можно ли извлечь из него квадратный корень нацело или представить результат в виде конечной десятичной или периодической дроби. Если корень из числа не может быть представлен в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное, то это число иррациональное. Проанализируем каждый вариант.

1) $\sqrt{0,0036}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,0036 = \frac{36}{10000}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{\frac{36}{10000}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10000}} = \frac{6}{100} = 0,06$.
Результат $0,06$ является рациональным числом.

2) $\sqrt{0,36}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,36 = \frac{36}{100}$.
Извлечем корень: $\sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Результат $0,6$ является рациональным числом.

3) $\sqrt{360}$
Разложим подкоренное число на множители, чтобы вынести из-под корня полный квадрат: $360 = 36 \times 10$.
Тогда $\sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.
Число $10$ не является полным квадратом какого-либо целого числа ($3^2 = 9$, $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Произведение рационального числа $6$ и иррационального $\sqrt{10}$ также является иррациональным числом.

4) $\sqrt{3600}$
Число $3600$ является полным квадратом, так как $3600 = 60 \times 60 = 60^2$.
Следовательно, $\sqrt{3600} = 60$.
Результат $60$ является целым, а значит, и рациональным числом.

Таким образом, единственное иррациональное число среди предложенных — это $\sqrt{360}$.

Ответ: $\sqrt{360}$

2. Укажите наибольшее из приведённых чисел.

1) $2\sqrt{6}$

2) $3\sqrt{3}$

3) $5$

4) $\sqrt{26}$

Для того чтобы определить, какое из приведённых чисел является наибольшим, удобно сравнить их квадраты. Так как все числа положительные, то большему квадрату будет соответствовать большее число. Другой способ — представить все числа в виде квадратного корня $\sqrt{a}$ и сравнить подкоренные выражения $a$.

Рассмотрим каждое число по отдельности:

1) $2\sqrt{6}$

Чтобы представить это число в виде $\sqrt{a}$, внесем множитель 2 под знак корня, предварительно возведя его в квадрат:

$2\sqrt{6} = \sqrt{2^2 \cdot 6} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{24}$.

Таким образом, квадрат этого числа равен 24.

2) $3\sqrt{3}$

Аналогично внесем множитель 3 под знак корня:

$3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.

Квадрат этого числа равен 27.

3) 5

Представим число 5 в виде квадратного корня:

$5 = \sqrt{5^2} = \sqrt{25}$.

Квадрат этого числа равен 25.

4) $\sqrt{26}$

Это число уже представлено в виде квадратного корня. Его квадрат равен 26.

Теперь мы можем сравнить полученные подкоренные выражения (или квадраты исходных чисел): 24, 27, 25 и 26.

Расположим их в порядке возрастания:

$24 < 25 < 26 < 27$.

Это означает, что и исходные числа находятся в таком же соотношении:

$\sqrt{24} < \sqrt{25} < \sqrt{26} < \sqrt{27}$

или

$2\sqrt{6} < 5 < \sqrt{26} < 3\sqrt{3}$.

Из этого сравнения видно, что наибольшим числом является $3\sqrt{3}$.

Ответ: $3\sqrt{3}$

3. Дано множество $A = \{a, b, c\}$. Укажите неверное утверждение.

1) $c \in A$

2) $\emptyset \in A$

3) $\{a, c\} \subset A$

4) $A \cup \emptyset = A$

Для того чтобы найти неверное утверждение, необходимо проанализировать каждый из предложенных вариантов, учитывая, что дано множество $A = \{a, b, c\}$.

1) $c \in A$
Символ $\in$ означает "принадлежит" или "является элементом". Данное утверждение гласит, что элемент $c$ принадлежит множеству $A$. Поскольку множество $A$ определено как $\{a, b, c\}$, элемент $c$ действительно входит в его состав. Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: Верно.

2) $\emptyset \in A$
Символ $\emptyset$ обозначает пустое множество. Утверждение гласит, что пустое множество является элементом множества $A$. Элементами множества $A$ являются только $a$, $b$ и $c$. Символ $\emptyset$ среди них отсутствует. Следовательно, это утверждение является неверным. Важно не путать понятие принадлежности элемента ($\in$) с понятием включения подмножества ($\subset$). Утверждение $\emptyset \subset A$ было бы верным, так как пустое множество является подмножеством любого множества.
Ответ: Неверно.

3) $\{a, c\} \subset A$
Символ $\subset$ означает "является подмножеством". Утверждение гласит, что множество, состоящее из элементов $a$ и $c$, является подмножеством $A$. Множество является подмножеством, если все его элементы также принадлежат другому множеству. Элементы $a$ и $c$ множества $\{a, c\}$ оба содержатся в множестве $A = \{a, b, c\}$. Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: Верно.

4) $A \cup \emptyset = A$
Символ $\cup$ означает "объединение" множеств. Объединение любого множества с пустым множеством по определению равно самому этому множеству, так как пустое множество не содержит никаких элементов, которые могли бы быть добавлены. Это одно из основных свойств операций над множествами. Таким образом, это утверждение является верным.
Ответ: Верно.

По итогам анализа всех вариантов, единственным неверным утверждением является утверждение под номером 2.

4. Упростите выражение $\frac{\sqrt{80c^7}}{\sqrt{5c^3}}$.

1) $-4c^2$

2) $4c^2$

3) $4c$

4) $16c^2$

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойством частного корней: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$. Это свойство справедливо при $a \ge 0$ и $b > 0$. В данном случае, чтобы выражение имело смысл, необходимо, чтобы $c>0$.

Применим это правило к исходному выражению:

$\frac{\sqrt{80c^7}}{\sqrt{5c^3}} = \sqrt{\frac{80c^7}{5c^3}}$

Теперь упростим подкоренное выражение, разделив числитель на знаменатель. Для этого разделим числовые коэффициенты и степени переменной $c$ по отдельности.

Делим коэффициенты: $\frac{80}{5} = 16$.

Делим степени переменной $c$ по правилу деления степеней с одинаковым основанием ($a^m / a^n = a^{m-n}$):

$\frac{c^7}{c^3} = c^{7-3} = c^4$

Таким образом, подкоренное выражение равно $16c^4$. Подставим его обратно в корень:

$\sqrt{16c^4}$

Теперь извлечем квадратный корень. Корень из произведения равен произведению корней: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.

$\sqrt{16c^4} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{c^4}$

Вычисляем каждый из корней:

$\sqrt{16} = 4$

$\sqrt{c^4} = \sqrt{(c^2)^2} = c^2$

Перемножим полученные результаты:

$4 \cdot c^2 = 4c^2$

Итоговое упрощенное выражение - $4c^2$, что соответствует варианту ответа 2.

Ответ: $4c^2$

5. Графическое решение какого из приведённых уравнений изображено на рисунке?

1) $x^2 = \frac{1}{x}$

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

3) $x^2 = \sqrt{x}$

4) $\sqrt{x} = x$

Чтобы определить, графическое решение какого уравнения изображено на рисунке, нужно сначала идентифицировать функции, графики которых представлены, а затем сопоставить их с предложенными уравнениями.

На рисунке мы видим два графика. График, расположенный в первой координатной четверти и выходящий из начала координат, — это график функции квадратного корня $y = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Второй график, состоящий из двух ветвей в первой и третьей координатных четвертях, является гиперболой — это график функции обратной пропорциональности $y = \frac{1}{x}$.

Графическое решение уравнения вида $f(x) = g(x)$ представляет собой нахождение абсцисс (координат $x$) точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. На рисунке показано пересечение графиков $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$. Следовательно, изображено графическое решение уравнения $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов уравнений:

1) $x^2 = \frac{1}{x}$

Для графического решения этого уравнения необходимо построить графики функций $y = x^2$ (парабола) и $y = \frac{1}{x}$ (гипербола). На рисунке отсутствует график функции $y = x^2$. Следовательно, этот вариант не подходит.

2) $\sqrt{x} = \frac{1}{x}$

Это уравнение соответствует нахождению точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{1}{x}$. Оба этих графика изображены на рисунке. Таким образом, этот вариант является правильным.

3) $x^2 = \sqrt{x}$

Для решения этого уравнения строятся графики функций $y = x^2$ (парабола) и $y = \sqrt{x}$. На рисунке нет графика $y = x^2$. Следовательно, этот вариант не подходит.

4) $\sqrt{x} = x$

Для решения этого уравнения строятся графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = x$ (прямая, биссектриса первого и третьего координатных углов). На рисунке нет графика прямой $y = x$. Следовательно, этот вариант не подходит.

Ответ: 2