Номер 1, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какое из чисел $\sqrt{0,0036}$, $\sqrt{0,36}$, $\sqrt{360}$, $\sqrt{3600}$ является иррациональным?

1) $\sqrt{0,0036}$

2) $\sqrt{0,36}$

3) $\sqrt{360}$

4) $\sqrt{3600}$

Чтобы определить, какое из чисел является иррациональным, необходимо проверить, можно ли извлечь из него квадратный корень нацело или представить результат в виде конечной десятичной или периодической дроби. Если корень из числа не может быть представлен в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное, то это число иррациональное. Проанализируем каждый вариант.

1) $\sqrt{0,0036}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,0036 = \frac{36}{10000}$.
Теперь извлечем корень: $\sqrt{\frac{36}{10000}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{10000}} = \frac{6}{100} = 0,06$.
Результат $0,06$ является рациональным числом.

2) $\sqrt{0,36}$
Представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби: $0,36 = \frac{36}{100}$.
Извлечем корень: $\sqrt{\frac{36}{100}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}} = \frac{6}{10} = 0,6$.
Результат $0,6$ является рациональным числом.

3) $\sqrt{360}$
Разложим подкоренное число на множители, чтобы вынести из-под корня полный квадрат: $360 = 36 \times 10$.
Тогда $\sqrt{360} = \sqrt{36 \times 10} = \sqrt{36} \times \sqrt{10} = 6\sqrt{10}$.
Число $10$ не является полным квадратом какого-либо целого числа ($3^2 = 9$, $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ является иррациональным числом. Произведение рационального числа $6$ и иррационального $\sqrt{10}$ также является иррациональным числом.

4) $\sqrt{3600}$
Число $3600$ является полным квадратом, так как $3600 = 60 \times 60 = 60^2$.
Следовательно, $\sqrt{3600} = 60$.
Результат $60$ является целым, а значит, и рациональным числом.

Таким образом, единственное иррациональное число среди предложенных — это $\sqrt{360}$.

Ответ: $\sqrt{360}$