Страница 137 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Чему равен старший коэффициент уравнения

$7x - 8 - x^2 = 0?$

1) 7 2) -1 3) 1 4) 8

Старший коэффициент многочлена (или уравнения) — это числовой множитель при члене с самой высокой степенью переменной.

Данное уравнение: $7x - 8 - x^2 = 0$.

Чтобы найти старший коэффициент, приведем уравнение к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$, расположив члены в порядке убывания степеней переменной $x$:

$-x^2 + 7x - 8 = 0$

В этом уравнении член с наивысшей степенью (второй степенью) — это $-x^2$. Коэффициент при $x^2$ равен $-1$, так как $-x^2$ можно записать как $-1 \cdot x^2$.

Следовательно, старший коэффициент уравнения равен $-1$.

Ответ: -1

2. При каком значении $a$ корнем уравнения $ax^2 - 5x - 2 = 0$ является число $-2$?

1) $-2$

2) $2$

3) $-3$

4) $3$

По условию, число -2 является корнем уравнения $ax^2 - 5x - 2 = 0$. Это означает, что если подставить значение $x = -2$ в данное уравнение, то получится верное числовое равенство.

Выполним подстановку $x = -2$:
$a \cdot (-2)^2 - 5 \cdot (-2) - 2 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно переменной $a$. Сначала выполним вычисления:
$a \cdot 4 - (-10) - 2 = 0$
$4a + 10 - 2 = 0$
$4a + 8 = 0$

Далее, перенесем свободный член (8) в правую часть уравнения, изменив его знак:
$4a = -8$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 4:
$a = \frac{-8}{4}$
$a = -2$

Следовательно, при $a = -2$ число -2 является корнем уравнения. Этот вариант соответствует ответу под номером 1.

Ответ: -2

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных целых числа.

1) $x^2 + 16x = 0$

2) $x^2 + 16 = 0$

3) $x^2 - 16 = 0$

4) $x^2 - 16x = 0$

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение, корнями которого являются два противоположных целых числа. Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки, например, $k$ и $-k$, где $k$ — целое число, не равное нулю.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = -p$. Если корни противоположны, их сумма равна $k + (-k) = 0$. Следовательно, коэффициент $p$ (коэффициент при $x$ в первой степени) должен быть равен нулю. Таким образом, искомое уравнение должно иметь вид $x^2 + q = 0$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$, то есть $k \cdot (-k) = -k^2 = q$. Так как $k$ — целое число, то $q$ должно быть отрицательным числом, являющимся квадратом целого числа со знаком минус.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 16x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 16) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -16$.
Эти числа целые, но не являются противоположными.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.

2) $x^2 + 16 = 0$

Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = -16$
Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, оно не имеет и целых корней.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.

3) $x^2 - 16 = 0$

Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:
$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Корни 4 и -4 являются противоположными целыми числами, что полностью соответствует условию задачи.
Ответ: данное уравнение удовлетворяет условию.

4) $x^2 - 16x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 16) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.
Эти числа целые, но не являются противоположными.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.

4. Дискриминант какого из данных уравнений равен 16?

1) $5x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $5x^2 - 3x - 2 = 0$

3) $x^2 - 2x - 3 = 0$

4) $x^2 - 2x + 3 = 0$

Для того чтобы определить, у какого из данных уравнений дискриминант равен 16, необходимо вычислить дискриминант для каждого из них. Дискриминант квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

1) $5x^2 - 3x + 2 = 0$
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -3$, $c = 2$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 9 - 40 = -31$.
Ответ: -31

2) $5x^2 - 3x - 2 = 0$
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 5$, $b = -3$, $c = -2$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.
Ответ: 49

3) $x^2 - 2x - 3 = 0$
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = -3$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Дискриминант этого уравнения равен 16, что соответствует условию задачи.
Ответ: 16

4) $x^2 - 2x + 3 = 0$
В этом уравнении коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -2$, $c = 3$.
Вычисляем дискриминант:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.
Ответ: -8

5. Чему равно произведение корней уравнения $5x^2 - 9x + 2 = 0$?

1) 2

2) 9

3) 0,4

4) 1,8

Для нахождения произведения корней квадратного уравнения $5x^2 - 9x + 2 = 0$ проще всего воспользоваться теоремой Виета.

Для приведенного квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ теорема Виета устанавливает связь между его корнями ($x_1$ и $x_2$) и коэффициентами. В частности, произведение корней равно отношению свободного члена $c$ к коэффициенту при старшей степени $a$.

Формула для произведения корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

В данном уравнении $5x^2 - 9x + 2 = 0$ коэффициенты равны:

$a = 5$

$b = -9$

$c = 2$

Теперь подставим значения коэффициентов $a$ и $c$ в формулу:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{2}{5}$

Чтобы сравнить результат с предложенными вариантами ответов, переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$\frac{2}{5} = 0,4$

Таким образом, произведение корней уравнения равно 0,4.

Ответ: 0,4

6. Установите соответствие между уравнениями, записанными в левом столбце, и множествами их корней, записанными в правом столбце.

Уравнение

Множество корней

A) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

В) $x^2 - 3x + 4 = 0$

1) $\emptyset$

2) $\{-3, -1\}$

3) $\{-1, 3\}$

4) $\{1, 3\}$

5) $\{-3, 1\}$

Для того чтобы установить соответствие, необходимо решить каждое квадратное уравнение и найти множество его корней.

А) $x^2 - 4x + 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-4$, $c=3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$x_2 = \frac{-(-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Таким образом, множество корней уравнения: $\{1, 3\}$. Это соответствует варианту 4) из правого столбца.
Ответ: 4

Б) $x^2 + 2x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=2$, $c=-3$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$
Таким образом, множество корней уравнения: $\{-3, 1\}$. Это соответствует варианту 5) из правого столбца.
Ответ: 5

В) $x^2 - 3x + 4 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=-3$, $c=4$.
Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, множество его корней пусто: $\emptyset$. Это соответствует варианту 1) из правого столбца.
Ответ: 1