Номер 3, страница 137, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Укажите уравнение, корнями которого являются два противоположных целых числа.

1) $x^2 + 16x = 0$

2) $x^2 + 16 = 0$

3) $x^2 - 16 = 0$

4) $x^2 - 16x = 0$

Задача состоит в том, чтобы найти уравнение, корнями которого являются два противоположных целых числа. Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки, например, $k$ и $-k$, где $k$ — целое число, не равное нулю.

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ по теореме Виета сумма корней $x_1 + x_2 = -p$. Если корни противоположны, их сумма равна $k + (-k) = 0$. Следовательно, коэффициент $p$ (коэффициент при $x$ в первой степени) должен быть равен нулю. Таким образом, искомое уравнение должно иметь вид $x^2 + q = 0$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = q$, то есть $k \cdot (-k) = -k^2 = q$. Так как $k$ — целое число, то $q$ должно быть отрицательным числом, являющимся квадратом целого числа со знаком минус.

Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 16x = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Вынесем $x$ за скобки:
$x(x + 16) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -16$.
Эти числа целые, но не являются противоположными.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.

2) $x^2 + 16 = 0$

Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = -16$
Уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, оно не имеет и целых корней.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.

3) $x^2 - 16 = 0$

Перенесем 16 в правую часть уравнения:
$x^2 = 16$
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем два корня:
$x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Корни 4 и -4 являются противоположными целыми числами, что полностью соответствует условию задачи.
Ответ: данное уравнение удовлетворяет условию.

4) $x^2 - 16x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(x - 16) = 0$
Корни этого уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 16$.
Эти числа целые, но не являются противоположными.
Ответ: данное уравнение не удовлетворяет условию.