Номер 4, страница 127, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Укажите выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки в запись $ - \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = (*)^{-3} $, чтобы образовалось тождество.

1) $ - \frac{1}{7} x^3 y^{-7} $

2) $ - 7 x^3 y^{-7} $

3) $ - \frac{1}{7} x^{-3} y^7 $

4) $ - 7 x^{-3} y^7 $

Для того чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звёздочки, обозначим это выражение как $A$. Исходное тождество имеет вид: $$ \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = (A)^{-3} $$

Чтобы найти $A$, необходимо представить левую часть уравнения в виде некоторого выражения, возведённого в степень $-3$. Для этого преобразуем каждый множитель в левой части уравнения.

1. Преобразуем числовой коэффициент. Поскольку $7^3 = 343$, то: $$ \frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3} $$

2. Преобразуем переменную $x$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, найдём такое $m$, что $(x^m)^{-3} = x^9$: $$ m \cdot (-3) = 9 \implies m = \frac{9}{-3} = -3 $$ Следовательно, $x^9 = (x^{-3})^{-3}$.

3. Преобразуем переменную $y$. Аналогично, найдём такое $k$, что $(y^k)^{-3} = y^{-21}$: $$ k \cdot (-3) = -21 \implies k = \frac{-21}{-3} = 7 $$ Следовательно, $y^{-21} = (y^7)^{-3}$.

Теперь объединим все преобразованные части, используя свойство $(abc)^n = a^n b^n c^n$: $$ \frac{1}{343} x^9 y^{-21} = 7^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^7)^{-3} = (7x^{-3}y^7)^{-3} $$

Таким образом, исходное тождество принимает вид: $$ (7x^{-3}y^7)^{-3} = (A)^{-3} $$ Отсюда следует, что искомое выражение $A$ равно $7x^{-3}y^7$.

Сравнив полученный результат $7x^{-3}y^7$ с предложенными вариантами ответов, мы видим, что точного совпадения нет. Все предложенные варианты являются отрицательными. Вариант 4) $-7x^{-3}y^7$ имеет тот же модуль коэффициента и те же показатели степеней у переменных, что и в нашем решении.

Проверим, что получится, если подставить выражение из варианта 4) в правую часть уравнения. Поскольку степень $-3$ нечетная, знак минус сохранится: $$ (-7x^{-3}y^7)^{-3} = (-7)^{-3} \cdot (x^{-3})^{-3} \cdot (y^7)^{-3} = \frac{1}{(-7)^3} x^9 y^{-21} = -\frac{1}{343}x^9y^{-21} $$ Полученный результат $-\frac{1}{343}x^9y^{-21}$ отличается от левой части исходного уравнения $\frac{1}{343}x^9y^{-21}$ знаком. Это указывает на вероятную опечатку в условии задачи (в левой части должен был стоять знак "минус", либо в варианте ответа его быть не должно).

Тем не менее, при выборе из предложенных вариантов, единственным, который соответствует правильным степеням переменных ($x^{-3}$ и $y^7$) и правильному модулю коэффициента ($7$), является вариант 4).

Ответ: 4) $-7x^{-3}y^7$