Номер 12, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

12. Какое из чисел $\frac{8}{9}$, $\left(\frac{8}{9}\right)^{-6}$ и $\left(\frac{9}{8}\right)^{-6}$ наибольшее?

Для того чтобы определить, какое из чисел наибольшее, давайте сначала упростим выражения со степенями.

Нам нужно сравнить три числа: $ \frac{8}{9} $, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $ и $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} $.

1. Первое число: $ \frac{8}{9} $. Это правильная дробь, её значение меньше 1.

2. Второе число: $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $. Используем свойство степени с отрицательным показателем $ \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} $.

$ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} = \left(\frac{9}{8}\right)^{6} $

Основание степени $ \frac{9}{8} $ больше 1. При возведении числа, большего 1, в положительную степень, результат будет еще больше. Следовательно, $ \left(\frac{9}{8}\right)^{6} > 1 $.

3. Третье число: $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} $. Применим то же свойство степени:

$ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} = \left(\frac{8}{9}\right)^{6} $

Основание степени $ \frac{8}{9} $ меньше 1. При возведении числа, меньшего 1 (но большего 0), в положительную степень, результат будет еще меньше. Следовательно, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{6} < \frac{8}{9} < 1 $.

Теперь сравним полученные результаты:

• $ \frac{8}{9} < 1 $
• $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} = \left(\frac{9}{8}\right)^{6} > 1 $
• $ \left(\frac{9}{8}\right)^{-6} = \left(\frac{8}{9}\right)^{6} < 1 $

Мы видим, что только одно число, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $, больше единицы. Остальные два числа меньше единицы. Следовательно, $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $ является наибольшим.

Ответ: $ \left(\frac{8}{9}\right)^{-6} $