Страница 114 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

7. Представьте в виде дроби выражение $\frac{c^2 - 9}{3c^3} \cdot \frac{c}{2c + 6}$.

Чтобы представить выражение в виде дроби, нужно выполнить умножение двух дробей. Для этого перемножим их числители и знаменатели. Чтобы упростить итоговое выражение, предварительно разложим числители и знаменатели на множители.

Исходное выражение:
$ \frac{c^2 - 9}{3c^3} \cdot \frac{c}{2c + 6} $

1. Разложение на множители.
Разложим числитель первой дроби $ c^2 - 9 $ по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:
$ c^2 - 9 = c^2 - 3^2 = (c-3)(c+3) $
Разложим знаменатель второй дроби $ 2c + 6 $, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$ 2c + 6 = 2(c+3) $

2. Подстановка и умножение.
Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение:
$ \frac{(c-3)(c+3)}{3c^3} \cdot \frac{c}{2(c+3)} $
Теперь выполним умножение, перемножив числители с числителями и знаменатели со знаменателями:
$ \frac{(c-3)(c+3) \cdot c}{3c^3 \cdot 2(c+3)} $

3. Сокращение дроби.
Сократим полученную дробь на общие множители. Общими множителями в числителе и знаменателе являются $ (c+3) $ и $ c $.
Сокращаем на $ (c+3) $:
$ \frac{(c-3) \cdot c}{3c^3 \cdot 2} $
Сокращаем на $ c $ (учитывая, что $ \frac{c}{c^3} = \frac{1}{c^2} $):
$ \frac{c-3}{3c^2 \cdot 2} $
Выполним умножение в знаменателе:
$ \frac{c-3}{6c^2} $
Данное выражение определено при $ c \neq 0 $ и $ c \neq -3 $.

Ответ: $ \frac{c-3}{6c^2} $

8. Найдите значение выражения $\frac{a+2}{4a-1} : \frac{a^2+2a}{16a^2-8a+1}$, если $a = \frac{1}{7}$.

Для начала упростим данное алгебраическое выражение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{a + 2}{4a - 1} : \frac{a^2 + 2a}{16a^2 - 8a + 1} = \frac{a + 2}{4a - 1} \cdot \frac{16a^2 - 8a + 1}{a^2 + 2a}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, чтобы можно было выполнить сокращение.

Знаменатель второй дроби $a^2 + 2a$ можно упростить, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 + 2a = a(a + 2)$

Числитель второй дроби $16a^2 - 8a + 1$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$16a^2 - 8a + 1 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = (4a - 1)^2$

Подставим полученные разложения обратно в выражение:

$\frac{a + 2}{4a - 1} \cdot \frac{(4a - 1)^2}{a(a + 2)}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a + 2)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби сокращаются. Также сокращается множитель $(4a - 1)$:

$\frac{\cancel{(a + 2)}}{\cancel{(4a - 1)}} \cdot \frac{(4a - 1)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a + 2)}} = \frac{4a - 1}{a}$

Мы получили упрощенное выражение. Теперь подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{7}$:

$\frac{4 \cdot \frac{1}{7} - 1}{\frac{1}{7}} = \frac{\frac{4}{7} - 1}{\frac{1}{7}} = \frac{\frac{4}{7} - \frac{7}{7}}{\frac{1}{7}} = \frac{-\frac{3}{7}}{\frac{1}{7}}$

При делении дроби на дробь, мы умножаем делимое на дробь, обратную делителю:

$-\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{1} = -3$

Ответ: -3

9. Выполните деление: $(c - 13) : \frac{c^2 - 26c + 169}{c^2 - 169}$

Чтобы выполнить деление, необходимо делимое умножить на дробь, обратную делителю.

$(c - 13) : \frac{c^2 - 26c + 169}{c^2 - 169} = (c - 13) \cdot \frac{c^2 - 169}{c^2 - 26c + 169}$

Представим выражение $(c - 13)$ как дробь $\frac{c-13}{1}$ и объединим множители в одну дробь:

$\frac{c - 13}{1} \cdot \frac{c^2 - 169}{c^2 - 26c + 169} = \frac{(c - 13)(c^2 - 169)}{c^2 - 26c + 169}$

Для упрощения выражения разложим на множители числитель и знаменатель дроби, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель содержит выражение $c^2 - 169$. Это разность квадратов, так как $169 = 13^2$. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$c^2 - 169 = c^2 - 13^2 = (c - 13)(c + 13)$

Знаменатель $c^2 - 26c + 169$ является полным квадратом разности. Применим формулу $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$c^2 - 26c + 169 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 13 + 13^2 = (c - 13)^2$

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$\frac{(c - 13)(c - 13)(c + 13)}{(c - 13)^2} = \frac{(c - 13)^2 (c + 13)}{(c - 13)^2}$

Сократим общий множитель $(c - 13)^2$ в числителе и знаменателе (при условии, что $c \neq 13$):

$\frac{\cancel{(c - 13)^2} (c + 13)}{\cancel{(c - 13)^2}} = c + 13$

Ответ: $c + 13$

10. Упростите выражение

$\frac{\frac{7}{a} - 3}{4 - \frac{7+a}{a}}$.

Для упрощения данного выражения выполним действия по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{\frac{7}{a} - 3}{4 - \frac{7+a}{a}} $$

1. Преобразуем числитель. Приведем выражение $\frac{7}{a} - 3$ к общему знаменателю $a$:

$$ \frac{7}{a} - 3 = \frac{7}{a} - \frac{3 \cdot a}{a} = \frac{7 - 3a}{a} $$

2. Преобразуем знаменатель. Приведем выражение $4 - \frac{7+a}{a}$ к общему знаменателю $a$:

$$ 4 - \frac{7+a}{a} = \frac{4 \cdot a}{a} - \frac{7+a}{a} = \frac{4a - (7+a)}{a} = \frac{4a - 7 - a}{a} = \frac{3a - 7}{a} $$

3. Теперь подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$$ \frac{\frac{7 - 3a}{a}}{\frac{3a - 7}{a}} $$

4. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$$ \frac{7 - 3a}{a} \cdot \frac{a}{3a - 7} $$

5. Сократим $a$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq 0$):

$$ \frac{7 - 3a}{3a - 7} $$

6. Заметим, что числитель $7 - 3a$ и знаменатель $3a - 7$ являются противоположными выражениями. Вынесем знак минус за скобки в числителе:

$$ 7 - 3a = -( -7 + 3a) = -(3a - 7) $$

7. Подставим это обратно в дробь и сократим:

$$ \frac{-(3a - 7)}{3a - 7} = -1 $$

Это упрощение возможно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $a \neq 0$ и $3a - 7 \neq 0$ ($a \neq \frac{7}{3}$).

Ответ: $-1$

11. Упростите выражение

$\left(4m - 12n + \frac{9n^2}{m}\right) : \left(2 - \frac{3n}{m}\right).$

Для упрощения данного выражения необходимо выполнить действия в скобках, а затем произвести деление. Решим по шагам:

1. Упростим выражение в первой скобке: $4m - 12n + \frac{9n^2}{m}$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $m$:

$\frac{4m \cdot m}{m} - \frac{12n \cdot m}{m} + \frac{9n^2}{m} = \frac{4m^2 - 12mn + 9n^2}{m}$

Числитель $4m^2 - 12mn + 9n^2$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$, где $a=2m$ и $b=3n$.

$(2m)^2 - 2 \cdot (2m) \cdot (3n) + (3n)^2 = (2m - 3n)^2$

Таким образом, первое выражение равно: $\frac{(2m - 3n)^2}{m}$

2. Упростим выражение во второй скобке: $2 - \frac{3n}{m}$

Приведем к общему знаменателю $m$:

$\frac{2 \cdot m}{m} - \frac{3n}{m} = \frac{2m - 3n}{m}$

3. Выполним деление:

Теперь разделим результат первого действия на результат второго. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{(2m - 3n)^2}{m} : \frac{2m - 3n}{m} = \frac{(2m - 3n)^2}{m} \cdot \frac{m}{2m - 3n}$

Сократим общие множители $m$ и $(2m - 3n)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{(2m - 3n)^{\cancel{2}}}{\cancel{m}} \cdot \frac{\cancel{m}}{\cancel{(2m - 3n)}} = 2m - 3n$

Данное упрощение справедливо при условиях $m \neq 0$ и $2m - 3n \neq 0$.

Ответ: $2m - 3n$

12. Найдите значение выражения

$(\frac{9}{a-4} - a - 4) \cdot \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25}$, если $a = 95$.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение, а затем подставим в него значение $a=95$.

Исходное выражение: $ (\frac{9}{a-4} - a - 4) \cdot \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25} $.

1. Упрощение выражения в скобках.

Приведем все члены в скобках к общему знаменателю $(a-4)$:

$ \frac{9}{a-4} - a - 4 = \frac{9}{a-4} - (a+4) = \frac{9}{a-4} - \frac{(a+4)(a-4)}{a-4} $

Применяя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ для выражения $(a+4)(a-4)$, получаем:

$ \frac{9 - (a^2 - 16)}{a-4} = \frac{9 - a^2 + 16}{a-4} = \frac{25 - a^2}{a-4} $

Снова применим формулу разности квадратов к числителю $25 - a^2 = (5-a)(5+a)$:

$ \frac{(5-a)(5+a)}{a-4} $

2. Упрощение второго множителя.

Рассмотрим дробь $ \frac{4-a}{a^2 + 10a + 25} $.

В числителе вынесем знак минус за скобку: $4-a = -(a-4)$.

Знаменатель $a^2 + 10a + 25$ является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$ a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = (a+5)^2 $

Таким образом, вторая дробь преобразуется к виду:

$ \frac{-(a-4)}{(a+5)^2} $

3. Выполнение умножения.

Теперь перемножим упрощенные выражения:

$ \frac{(5-a)(5+a)}{a-4} \cdot \frac{-(a-4)}{(a+5)^2} $

Заметим, что $5+a = a+5$. Сократим общие множители $(a-4)$ и $(a+5)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как при $a=95$ они не равны нулю):

$ \frac{(5-a)\cancel{(a+5)}}{\cancel{a-4}} \cdot \frac{-\cancel{(a-4)}}{(a+5)^{\cancel{2}}} = \frac{5-a}{1} \cdot \frac{-1}{a+5} = \frac{-(5-a)}{a+5} = \frac{a-5}{a+5} $

4. Вычисление значения выражения при $a=95$.

Подставим значение $a=95$ в полученное упрощенное выражение:

$ \frac{a-5}{a+5} = \frac{95-5}{95+5} = \frac{90}{100} = 0,9 $

Ответ: 0,9