Номер 8, страница 114, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

8. Найдите значение выражения $\frac{a+2}{4a-1} : \frac{a^2+2a}{16a^2-8a+1}$, если $a = \frac{1}{7}$.

Для начала упростим данное алгебраическое выражение. Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{a + 2}{4a - 1} : \frac{a^2 + 2a}{16a^2 - 8a + 1} = \frac{a + 2}{4a - 1} \cdot \frac{16a^2 - 8a + 1}{a^2 + 2a}$

Теперь разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби, чтобы можно было выполнить сокращение.

Знаменатель второй дроби $a^2 + 2a$ можно упростить, вынеся общий множитель $a$ за скобки:

$a^2 + 2a = a(a + 2)$

Числитель второй дроби $16a^2 - 8a + 1$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$16a^2 - 8a + 1 = (4a)^2 - 2 \cdot 4a \cdot 1 + 1^2 = (4a - 1)^2$

Подставим полученные разложения обратно в выражение:

$\frac{a + 2}{4a - 1} \cdot \frac{(4a - 1)^2}{a(a + 2)}$

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $(a + 2)$ в числителе первой дроби и знаменателе второй дроби сокращаются. Также сокращается множитель $(4a - 1)$:

$\frac{\cancel{(a + 2)}}{\cancel{(4a - 1)}} \cdot \frac{(4a - 1)^{\cancel{2}}}{a\cancel{(a + 2)}} = \frac{4a - 1}{a}$

Мы получили упрощенное выражение. Теперь подставим в него заданное значение $a = \frac{1}{7}$:

$\frac{4 \cdot \frac{1}{7} - 1}{\frac{1}{7}} = \frac{\frac{4}{7} - 1}{\frac{1}{7}} = \frac{\frac{4}{7} - \frac{7}{7}}{\frac{1}{7}} = \frac{-\frac{3}{7}}{\frac{1}{7}}$

При делении дроби на дробь, мы умножаем делимое на дробь, обратную делителю:

$-\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{1} = -3$

Ответ: -3