Страница 115 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению $\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{xy}$?

1) $\frac{z}{2y}$

2) $\frac{xz}{2y}$

3) $\frac{z}{y^2}$

4) $\frac{xz}{y^2}$

1.

Чтобы найти, какая из приведённых рациональных дробей тождественно равна произведению, необходимо выполнить умножение и упростить полученное выражение.

Найдём произведение дробей $\frac{x}{y}$ и $\frac{z}{xy}$. При умножении дробей их числители перемножаются, и их знаменатели перемножаются:

$\frac{x}{y} \cdot \frac{z}{xy} = \frac{x \cdot z}{y \cdot (xy)}$

Выполним умножение в числителе и знаменателе:

$\frac{xz}{xy^2}$

Теперь необходимо упростить (сократить) полученную дробь. Для этого найдём общие множители в числителе и знаменателе. Общим множителем является переменная $x$.

Сократим дробь на $x$:

$\frac{\cancel{x}z}{\cancel{x}y^2} = \frac{z}{y^2}$

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Выражение $\frac{z}{y^2}$ соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $\frac{z}{y^2}$

2. Выполните умножение: $5a^6b^4 \cdot \frac{8}{9a^3b^8}$

1) $\frac{a^3}{b^4}$

2) $\frac{40a^3}{9b^4}$

3) $\frac{40a^3b^4}{9}$

4) $\frac{40a^2}{9b^2}$

Чтобы выполнить умножение $5a^6b^4 \cdot \frac{8}{9a^3b^8}$, необходимо представить первый множитель в виде дроби, а затем перемножить числители и знаменатели получившихся дробей.

1. Представим одночлен $5a^6b^4$ в виде дроби со знаменателем 1:

$5a^6b^4 = \frac{5a^6b^4}{1}$

2. Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{5a^6b^4}{1} \cdot \frac{8}{9a^3b^8} = \frac{5a^6b^4 \cdot 8}{1 \cdot 9a^3b^8} = \frac{40a^6b^4}{9a^3b^8}$

3. Упростим полученную дробь. Для этого сократим степени с одинаковыми основаниями, используя свойство частного степеней $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$:

Для переменной $a$:

$\frac{a^6}{a^3} = a^{6-3} = a^3$

Для переменной $b$:

$\frac{b^4}{b^8} = b^{4-8} = b^{-4} = \frac{1}{b^4}$

Числовые коэффициенты 40 и 9 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому дробь $\frac{40}{9}$ не сокращается.

4. Соберем все части вместе, чтобы получить окончательный результат:

$\frac{40a^3}{9b^4}$

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, видим, что он соответствует варианту 2.

Ответ: 2) $\frac{40a^3}{9b^4}$

3. Выполните деление: $\left(\frac{b^2}{c}\right)^2 : \left(\frac{b^2}{c^3}\right)^3$

1) $b^2 c^7$

2) $\frac{1}{b^2 c^7}$

3) $\frac{b^2}{c^7}$

4) $\frac{c^7}{b^2}$

Чтобы выполнить деление, необходимо сначала упростить каждое выражение, возведя его в соответствующую степень. Воспользуемся свойствами степеней: $ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} $ и $ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $.

1. Упростим первое выражение (делимое):

$ \left(\frac{b^2}{c}\right)^2 = \frac{(b^2)^2}{c^2} = \frac{b^{2 \cdot 2}}{c^2} = \frac{b^4}{c^2} $

2. Упростим второе выражение (делитель):

$ \left(\frac{b^2}{c^3}\right)^3 = \frac{(b^2)^3}{(c^3)^3} = \frac{b^{2 \cdot 3}}{c^{3 \cdot 3}} = \frac{b^6}{c^9} $

3. Теперь выполним деление полученных дробей. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$ \frac{b^4}{c^2} : \frac{b^6}{c^9} = \frac{b^4}{c^2} \cdot \frac{c^9}{b^6} $

4. Перемножим числители с числителями, а знаменатели со знаменателями и сгруппируем степени с одинаковыми основаниями:

$ \frac{b^4 \cdot c^9}{c^2 \cdot b^6} = \frac{b^4}{b^6} \cdot \frac{c^9}{c^2} $

5. Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ b^{4-6} \cdot c^{9-2} = b^{-2} \cdot c^7 $

6. Используя свойство степени с отрицательным показателем $ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $, получим окончательный вид выражения:

$ \frac{1}{b^2} \cdot c^7 = \frac{c^7}{b^2} $

Этот результат соответствует варианту ответа под номером 4.

Ответ: 4) $ \frac{c^7}{b^2} $

4. Упростите выражение $\frac{x-9}{3x+15} : \frac{x^2-9x}{9x+45}$

1) $\frac{3}{x}$

2) $\frac{x}{3}$

3) $\frac{9}{x}$

4) $3x$

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить деление алгебраических дробей. Правило деления дробей гласит, что для деления одной дроби на другую нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

Исходное выражение:

$$ \frac{x - 9}{3x + 15} : \frac{x^2 - 9x}{9x + 45} $$

Заменяем деление умножением на обратную дробь:

$$ \frac{x - 9}{3x + 15} \cdot \frac{9x + 45}{x^2 - 9x} $$

Далее, для возможности сокращения дроби, разложим на множители числители и знаменатели, где это возможно.

1. Знаменатель первой дроби $3x + 15$: вынесем общий множитель 3 за скобки.

$$ 3x + 15 = 3(x + 5) $$

2. Числитель второй дроби $9x + 45$: вынесем общий множитель 9 за скобки.

$$ 9x + 45 = 9(x + 5) $$

3. Знаменатель второй дроби $x^2 - 9x$: вынесем общий множитель $x$ за скобки.

$$ x^2 - 9x = x(x - 9) $$

Теперь подставим разложенные на множители выражения обратно в нашу дробь:

$$ \frac{x - 9}{3(x + 5)} \cdot \frac{9(x + 5)}{x(x - 9)} $$

Теперь мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(x-9)$ и $(x+5)$:

$$ \frac{\cancel{(x - 9)}}{3\cancel{(x + 5)}} \cdot \frac{9\cancel{(x + 5)}}{x\cancel{(x - 9)}} $$

После сокращения общих множителей у нас остается:

$$ \frac{9}{3x} $$

Полученную дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на 3:

$$ \frac{9}{3x} = \frac{3}{x} $$

Полученный результат $ \frac{3}{x} $ соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $ \frac{3}{x} $

5. Какому числу при всех допустимых значениях $m$ равно значение выражения

$\left(\frac{14m}{m^2 - 49} - \frac{7}{m+7}\right) : \left(\frac{4m-7}{m-7} - 4\right)?$

1) $-\frac{1}{3}$

2) $\frac{1}{3}$

3) $-3$

4) $3$

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо его упростить. Будем выполнять действия по порядку, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ) переменной $m$.

Выражение имеет смысл, если все знаменатели дробей не равны нулю и делитель не равен нулю.

1. $m^2 - 49 \neq 0 \implies (m - 7)(m + 7) \neq 0$. Отсюда $m \neq 7$ и $m \neq -7$.

2. $m + 7 \neq 0 \implies m \neq -7$.

3. $m - 7 \neq 0 \implies m \neq 7$.

4. Делитель $(\frac{4m - 7}{m - 7} - 4)$ не должен быть равен нулю. Упростим его: $\frac{4m - 7}{m - 7} - 4 = \frac{4m - 7 - 4(m - 7)}{m - 7} = \frac{4m - 7 - 4m + 28}{m - 7} = \frac{21}{m - 7}$. Эта дробь не равна нулю, так как ее числитель 21 не равен нулю. Условие выполняется при $m \neq 7$.

Таким образом, ОДЗ: $m$ - любое число, кроме $7$ и $-7$.

Теперь упростим выражение по действиям.

Действие в первой скобке:

$\frac{14m}{m^2 - 49} - \frac{7}{m + 7} = \frac{14m}{(m - 7)(m + 7)} - \frac{7}{m + 7}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(m - 7)(m + 7)$:

$\frac{14m}{(m - 7)(m + 7)} - \frac{7(m - 7)}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{14m - 7(m - 7)}{(m - 7)(m + 7)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{14m - 7m + 49}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{7m + 49}{(m - 7)(m + 7)}$

Вынесем общий множитель 7 в числителе и сократим дробь:

$\frac{7(m + 7)}{(m - 7)(m + 7)} = \frac{7}{m - 7}$

Действие во второй скобке (уже выполнено при нахождении ОДЗ):

$\frac{4m - 7}{m - 7} - 4 = \frac{21}{m - 7}$

Теперь выполним деление результатов:

$\left(\frac{7}{m - 7}\right) : \left(\frac{21}{m - 7}\right)$

Для деления на дробь, умножим на обратную ей дробь:

$\frac{7}{m - 7} \cdot \frac{m - 7}{21}$

Сократим $(m - 7)$ в числителе и знаменателе (это возможно, так как $m \neq 7$):

$\frac{7}{21} = \frac{1}{3}$

Значение выражения не зависит от переменной $m$ и всегда равно $\frac{1}{3}$ при всех допустимых значениях $m$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $(\frac{1}{a+1} - \frac{1}{a-1}) : \frac{2}{a+1}$

Б) $(a - \frac{a}{a-1}) : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1}$

В) $(\frac{a}{a+1} - a) : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1}$

Тождественно равное выражение

1) $a + 1$

2) $a - 1$

3) $-a - 1$

4) $\frac{1}{a - 1}$

5) $\frac{1}{1 - a}$

А)

Упростим выражение $(\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1}) : \frac{2}{a + 1}$.

Сначала выполним вычитание в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$.

$\frac{1}{a + 1} - \frac{1}{a - 1} = \frac{1 \cdot (a - 1)}{(a + 1)(a - 1)} - \frac{1 \cdot (a + 1)}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{a - 1 - (a + 1)}{a^2 - 1} = \frac{a - 1 - a - 1}{a^2 - 1} = \frac{-2}{a^2 - 1}$.

Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{-2}{a^2 - 1} : \frac{2}{a + 1} = \frac{-2}{a^2 - 1} \cdot \frac{a + 1}{2}$.

Разложим знаменатель $a^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$, и сократим дробь:

$\frac{-2}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{a + 1}{2} = \frac{-1}{a - 1}$.

Преобразуем полученное выражение, чтобы оно соответствовало одному из вариантов в правом столбце:

$\frac{-1}{a - 1} = \frac{1}{-(a - 1)} = \frac{1}{1 - a}$.

Это выражение соответствует варианту под номером 5.

Ответ: 5

Б)

Упростим выражение $(a - \frac{a}{a - 1}) : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1}$.

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a - 1$.

$a - \frac{a}{a - 1} = \frac{a(a - 1)}{a - 1} - \frac{a}{a - 1} = \frac{a^2 - a - a}{a - 1} = \frac{a^2 - 2a}{a - 1}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{a^2 - 2a}{a - 1} : \frac{a^2 - 2a}{a^2 - 2a + 1} = \frac{a^2 - 2a}{a - 1} \cdot \frac{a^2 - 2a + 1}{a^2 - 2a}$.

Заметим, что знаменатель второй дроби является полным квадратом: $a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$. Сократим выражение:

$\frac{a^2 - 2a}{a - 1} \cdot \frac{(a - 1)^2}{a^2 - 2a} = \frac{(a - 1)^2}{a - 1} = a - 1$.

Это выражение соответствует варианту под номером 2.

Ответ: 2

В)

Упростим выражение $(\frac{a}{a + 1} - a) : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1}$.

Упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $a + 1$.

$\frac{a}{a + 1} - a = \frac{a}{a + 1} - \frac{a(a + 1)}{a + 1} = \frac{a - (a^2 + a)}{a + 1} = \frac{a - a^2 - a}{a + 1} = \frac{-a^2}{a + 1}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{-a^2}{a + 1} : \frac{a^2}{a^2 + 2a + 1} = \frac{-a^2}{a + 1} \cdot \frac{a^2 + 2a + 1}{a^2}$.

Заметим, что числитель второй дроби является полным квадратом: $a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2$. Сократим выражение:

$\frac{-a^2}{a + 1} \cdot \frac{(a + 1)^2}{a^2} = \frac{-(a + 1)^2}{a + 1} = -(a + 1) = -a - 1$.

Это выражение соответствует варианту под номером 3.

Ответ: 3