Страница 106 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

A) $ \frac{ab - ax}{bx - b^2} $

Б) $ \frac{a^2 - ab}{ax - bx} $

В) $ \frac{ax - ay}{bx - by} $

Тождественно равное выражение

1) $ \frac{a}{b} $

2) $ \frac{a}{x} $

3) $ \frac{b}{a} $

4) $ \frac{a}{b} $

5) $ \frac{x}{a} $

Для установления соответствия необходимо упростить каждое выражение в левом столбце.

А) Упростим выражение $\frac{ab - ax}{bx - b^2}$.
1. Вынесем общий множитель $a$ в числителе: $ab - ax = a(b - x)$.
2. Вынесем общий множитель $b$ в знаменателе: $bx - b^2 = b(x - b)$.
3. Исходная дробь примет вид: $\frac{a(b - x)}{b(x - b)}$.
4. Заметим, что множители $(b - x)$ и $(x - b)$ являются противоположными, то есть $(b - x) = -(x - b)$.
5. Подставим это в дробь: $\frac{a \cdot (-(x - b))}{b(x - b)} = \frac{-a(x - b)}{b(x - b)}$.
6. Сократим дробь на общий множитель $(x - b)$ и получим: $-\frac{a}{b}$.
Это выражение соответствует варианту 4) в правом столбце.
Ответ: 4

Б) Упростим выражение $\frac{a^2 - ab}{ax - bx}$.
1. Вынесем общий множитель $a$ в числителе: $a^2 - ab = a(a - b)$.
2. Вынесем общий множитель $x$ в знаменателе: $ax - bx = x(a - b)$.
3. Исходная дробь примет вид: $\frac{a(a - b)}{x(a - b)}$.
4. Сократим дробь на общий множитель $(a - b)$ и получим: $\frac{a}{x}$.
Это выражение соответствует варианту 2) в правом столбце.
Ответ: 2

В) Упростим выражение $\frac{ax - ay}{bx - by}$.
1. Вынесем общий множитель $a$ в числителе: $ax - ay = a(x - y)$.
2. Вынесем общий множитель $b$ в знаменателе: $bx - by = b(x - y)$.
3. Исходная дробь примет вид: $\frac{a(x - y)}{b(x - y)}$.
4. Сократим дробь на общий множитель $(x - y)$ и получим: $\frac{a}{b}$.
Это выражение соответствует варианту 1) в правом столбце.
Ответ: 1

7. Сократите дробь $\frac{3mn}{3m^2 - mn}$.

Чтобы сократить алгебраическую дробь, необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители. Затем, если есть общие множители, их можно сократить.

Исходная дробь:

$$ \frac{3mn}{3m^2 - mn} $$

Числитель дроби, $3mn$, уже представлен в виде произведения множителей.

Знаменатель дроби, $3m^2 - mn$, можно разложить на множители, вынеся за скобки общий множитель $m$:

$$ 3m^2 - mn = m(3m - n) $$

Теперь запишем дробь с разложенным на множители знаменателем:

$$ \frac{3mn}{m(3m - n)} $$

Сократим общий множитель $m$ в числителе и знаменателе. Это возможно при условии, что $m \neq 0$ и знаменатель не равен нулю ($3m - n \neq 0$).

$$ \frac{3\cancel{m}n}{\cancel{m}(3m - n)} = \frac{3n}{3m - n} $$

Полученная дробь является несократимой, так как у числителя $3n$ и знаменателя $3m - n$ нет общих множителей.

Ответ: $ \frac{3n}{3m - n} $

8. Найдите значение выражения $\frac{b^2 - 25}{7b^2 + 35b}$, если $b = 12$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $b^2 - 25$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$:

$b^2 - 25 = b^2 - 5^2 = (b-5)(b+5)$

В знаменателе $7b^2 + 35b$ вынесем за скобки общий множитель $7b$:

$7b^2 + 35b = 7b(b+5)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{b^2 - 25}{7b^2 + 35b} = \frac{(b-5)(b+5)}{7b(b+5)}$

Можно сократить дробь на общий множитель $(b+5)$, так как при $b=12$ он не равен нулю.

$\frac{(b-5)\cancel{(b+5)}}{7b\cancel{(b+5)}} = \frac{b-5}{7b}$

Теперь подставим значение $b = 12$ в упрощенное выражение:

$\frac{12-5}{7 \cdot 12} = \frac{7}{84}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{7}{84} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

9. Выполните вычитание: $\frac{32}{p-8} - \frac{4p}{p-8}$.

Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.

Запишем исходное выражение:

$ \frac{32}{p-8} - \frac{4p}{p-8} $

Так как знаменатели дробей одинаковы ($ p-8 $), объединим их в одну дробь:

$ \frac{32 - 4p}{p-8} $

Для упрощения выражения вынесем в числителе общий множитель 4 за скобки:

$ \frac{4(8 - p)}{p-8} $

Выражения $ 8 - p $ и $ p-8 $ являются противоположными, то есть $ 8 - p = -(p - 8) $. Подставим это в числитель:

$ \frac{4 \cdot (-(p - 8))}{p-8} = \frac{-4(p - 8)}{p-8} $

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $ (p-8) $, при условии, что $ p-8 \neq 0 $ (то есть $ p \neq 8 $):

$ -4 $

Ответ: -4

10. Выполните сложение: $\frac{9c}{5c-15} + \frac{3c}{6-2c}$

Чтобы выполнить сложение дробей $\frac{9c}{5c-15} + \frac{3c}{6-2c}$, необходимо привести их к общему знаменателю.

1. Сначала разложим на множители знаменатели каждой дроби.
Знаменатель первой дроби: $5c - 15 = 5(c - 3)$.
Знаменатель второй дроби: $6 - 2c = 2(3 - c)$. Чтобы получить одинаковый множитель в скобках, вынесем $-2$: $6 - 2c = -2(c - 3)$.

2. Теперь подставим разложенные знаменатели в исходное выражение. Знак "минус" в знаменателе второй дроби можно вынести перед всей дробью, изменив сложение на вычитание:

$$ \frac{9c}{5(c-3)} + \frac{3c}{-2(c-3)} = \frac{9c}{5(c-3)} - \frac{3c}{2(c-3)} $$

3. Теперь найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей. Он равен произведению всех уникальных множителей знаменателей: $5 \cdot 2 \cdot (c-3) = 10(c-3)$.

4. Приведем каждую дробь к этому знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $2$, а второй — на $5$:

$$ \frac{9c \cdot 2}{5(c-3) \cdot 2} - \frac{3c \cdot 5}{2(c-3) \cdot 5} = \frac{18c}{10(c-3)} - \frac{15c}{10(c-3)} $$

5. Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно выполнить вычитание числителей:

$$ \frac{18c - 15c}{10(c-3)} = \frac{3c}{10(c-3)} $$

Важно отметить, что данное выражение определено при $c \neq 3$, так как при этом значении исходные знаменатели обращаются в ноль.

Ответ: $ \frac{3c}{10(c-3)} $

11. Представьте в виде дроби выражение $\frac{24y^2}{3y+2} - 8y$.

Чтобы представить данное выражение в виде одной дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. В данном случае общий знаменатель равен $3y+2$.

Представим выражение $8y$ в виде дроби со знаменателем $3y+2$. для этого умножим и разделим его на $3y+2$:

$8y = \frac{8y(3y+2)}{3y+2}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{24y^2}{3y+2} - 8y = \frac{24y^2}{3y+2} - \frac{8y(3y+2)}{3y+2}$

Объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{24y^2 - 8y(3y+2)}{3y+2}$

Раскроем скобки в числителе, умножив $8y$ на каждый член в скобках:

$8y(3y+2) = 8y \cdot 3y + 8y \cdot 2 = 24y^2 + 16y$

Подставим результат обратно в числитель дроби:

$\frac{24y^2 - (24y^2 + 16y)}{3y+2}$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед ними:

$\frac{24y^2 - 24y^2 - 16y}{3y+2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-16y}{3y+2}$

Ответ: $-\frac{16y}{3y+2}$

12. Найдите значение выражения $ \frac{1}{x} - \frac{x^2 - 36}{6x} + \frac{x}{6} $, если $ x = \frac{1}{7} $.

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение.

Исходное выражение: $ \frac{1}{x} - \frac{x^2 - 36}{6x} + \frac{x}{6} $.

Чтобы сложить и вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями $x$, $6x$ и $6$ является $6x$.

Домножим первую дробь на $6$, а третью — на $x$:

$ \frac{1 \cdot 6}{x \cdot 6} - \frac{x^2 - 36}{6x} + \frac{x \cdot x}{6 \cdot x} = \frac{6}{6x} - \frac{x^2 - 36}{6x} + \frac{x^2}{6x} $

Теперь объединим дроби, выполнив действия в числителе. Обратим внимание на знак "минус" перед второй дробью — он меняет знаки всех слагаемых в ее числителе на противоположные:

$ \frac{6 - (x^2 - 36) + x^2}{6x} = \frac{6 - x^2 + 36 + x^2}{6x} $

Приведем подобные слагаемые в числителе. Слагаемые $-x^2$ и $+x^2$ взаимно уничтожаются:

$ \frac{6 + 36 - x^2 + x^2}{6x} = \frac{42}{6x} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 6:

$ \frac{42}{6x} = \frac{7}{x} $

Теперь, когда выражение упрощено до $ \frac{7}{x} $, подставим в него заданное значение $ x = \frac{1}{7} $:

$ \frac{7}{\frac{1}{7}} = 7 \div \frac{1}{7} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$ 7 \cdot \frac{7}{1} = 49 $

Ответ: 49