Страница 104 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Установите соответствие между выражениями, записанными в левом столбце, и тождественно равными им выражениями, записанными в правом столбце.

Выражение

А) $\frac{a^2 - ab}{bx - ax}$

Б) $\frac{ax - ay}{bx - by}$

В) $\frac{a^2 - ax}{ay - yx}$

Тождественно равное выражение

1) $\frac{a}{b}$

2) $\frac{a}{x}$

3) $\frac{a}{y}$

4) $-\frac{a}{x}$

5) $-\frac{y}{a}$

А) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 - ab}{bx - ax} $, выполним следующие действия:
1. В числителе вынесем общий множитель $ a $ за скобки: $ a^2 - ab = a(a-b) $.
2. В знаменателе вынесем общий множитель $ x $ за скобки: $ bx - ax = x(b-a) $.
3. Исходная дробь примет вид: $ \frac{a(a-b)}{x(b-a)} $.
4. Заметим, что выражения в скобках отличаются только знаком: $ a-b = -(b-a) $.
5. Подставим это в дробь: $ \frac{a \cdot (-(b-a))}{x(b-a)} = \frac{-a(b-a)}{x(b-a)} $.
6. Сократим общий множитель $ (b-a) $. В результате получим $ -\frac{a}{x} $.
Это выражение соответствует варианту 4.
Ответ: 4

Б) Чтобы упростить выражение $ \frac{ax - ay}{bx - by} $, выполним следующие действия:
1. В числителе вынесем общий множитель $ a $ за скобки: $ ax - ay = a(x-y) $.
2. В знаменателе вынесем общий множитель $ b $ за скобки: $ bx - by = b(x-y) $.
3. Исходная дробь примет вид: $ \frac{a(x-y)}{b(x-y)} $.
4. Сократим общий множитель $ (x-y) $. В результате получим $ \frac{a}{b} $.
Это выражение соответствует варианту 1.
Ответ: 1

В) Чтобы упростить выражение $ \frac{a^2 - ax}{ay - yx} $, выполним следующие действия:
1. В числителе вынесем общий множитель $ a $ за скобки: $ a^2 - ax = a(a-x) $.
2. В знаменателе вынесем общий множитель $ y $ за скобки: $ ay - yx = y(a-x) $.
3. Исходная дробь примет вид: $ \frac{a(a-x)}{y(a-x)} $.
4. Сократим общий множитель $ (a-x) $. В результате получим $ \frac{a}{y} $.
Это выражение соответствует варианту 3.
Ответ: 3

7. Сократите дробь $\frac{5xy}{xy - 5y^2}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо найти общие множители в числителе и знаменателе и разделить их друг на друга.

Исходная дробь: $\frac{5xy}{xy - 5y^2}$.

Числитель дроби, $5xy$, представляет собой произведение.

В знаменателе дроби, $xy - 5y^2$, можно вынести общий множитель $y$ за скобки:

$xy - 5y^2 = y(x) - y(5y) = y(x - 5y)$

Теперь перепишем дробь, подставив разложенный на множители знаменатель:

$\frac{5xy}{y(x - 5y)}$

Теперь видно, что и в числителе, и в знаменателе есть общий множитель $y$. Сократим дробь на $y$ (при условии, что $y \neq 0$ и знаменатель $x - 5y \neq 0$):

$\frac{5x \cdot y}{(x - 5y) \cdot y} = \frac{5x}{x - 5y}$

Ответ: $\frac{5x}{x - 5y}$

8. Найдите значение выражения $\frac{b^2-4}{6b^2+12b}$, если $b = -4$.

Чтобы найти значение выражения, сначала упростим его. Для этого разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

Числитель $b^2 - 4$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$b^2 - 4 = b^2 - 2^2 = (b-2)(b+2)$

В знаменателе $6b^2 + 12b$ вынесем за скобки общий множитель $6b$:

$6b^2 + 12b = 6b(b+2)$

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$\frac{b^2 - 4}{6b^2 + 12b} = \frac{(b-2)(b+2)}{6b(b+2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(b+2)$, так как при $b = -4$ он не равен нулю:

$\frac{b-2}{6b}$

Теперь подставим значение $b = -4$ в упрощенное выражение:

$\frac{-4-2}{6 \cdot (-4)} = \frac{-6}{-24}$

Разделив числитель на знаменатель, получаем:

$\frac{-6}{-24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4} = 0.25$

Ответ: $0.25$

9. Выполните вычитание: $\frac{42}{m-6} - \frac{7m}{m-6}$

Чтобы выполнить вычитание алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

Исходное выражение:

$\frac{42}{m-6} - \frac{7m}{m-6}$

Объединяем числители под общим знаменателем $(m-6)$:

$\frac{42 - 7m}{m-6}$

Далее, упростим полученное выражение. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 7:

$\frac{7(6 - m)}{m-6}$

Выражения в числителе $(6-m)$ и в знаменателе $(m-6)$ являются противоположными, так как $(6 - m) = -1 \cdot (m - 6)$. Заменим выражение в числителе:

$\frac{7 \cdot (-(m - 6))}{m - 6} = \frac{-7(m - 6)}{m - 6}$

Теперь можно сократить дробь на общий множитель $(m - 6)$, при условии, что $m-6 \neq 0$ (то есть $m \neq 6$):

$\frac{-7\cancel{(m - 6)}}{\cancel{m - 6}} = -7$

Ответ: -7

10. Выполните сложение:

$\frac{2a}{3a-6} + \frac{5a}{14-7a}.$

Для выполнения сложения алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Исходное выражение:

$\frac{2a}{3a-6} + \frac{5a}{14-7a}$

1. Первым шагом разложим на множители знаменатели каждой дроби, вынося общий множитель за скобки:

В знаменателе первой дроби $3a-6$ вынесем 3: $3(a-2)$.

В знаменателе второй дроби $14-7a$ вынесем 7: $7(2-a)$.

После этого выражение примет вид:

$\frac{2a}{3(a-2)} + \frac{5a}{7(2-a)}$

2. Заметим, что выражения в скобках в знаменателях, $(a-2)$ и $(2-a)$, являются противоположными, то есть $2-a = -(a-2)$. Используем это, чтобы упростить выражение. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби:

$\frac{5a}{7(2-a)} = \frac{5a}{-7(a-2)} = -\frac{5a}{7(a-2)}$

3. Теперь исходное выражение можно переписать как разность дробей:

$\frac{2a}{3(a-2)} - \frac{5a}{7(a-2)}$

4. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для получившихся дробей. Он равен произведению всех уникальных множителей знаменателей: $3 \cdot 7 \cdot (a-2) = 21(a-2)$.

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 7, а второй дроби — на 3:

$\frac{2a \cdot 7}{3(a-2) \cdot 7} - \frac{5a \cdot 3}{7(a-2) \cdot 3} = \frac{14a}{21(a-2)} - \frac{15a}{21(a-2)}$

6. Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$\frac{14a - 15a}{21(a-2)} = \frac{-a}{21(a-2)}$

Результат можно записать, вынеся знак минус перед дробью.

Ответ: $-\frac{a}{21(a-2)}$

11. Представьте в виде дроби выражение $ \frac{12p^2}{4p + 3} - 3p $.

Чтобы представить выражение в виде дроби, необходимо привести все его части к общему знаменателю. Общим знаменателем для выражения $\frac{12p^2}{4p + 3} - 3p$ будет $4p + 3$.

Представим второе слагаемое, $3p$, в виде дроби со знаменателем $4p + 3$. Для этого умножим и разделим $3p$ на $4p + 3$:

$3p = \frac{3p(4p + 3)}{4p + 3}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{3p \cdot 4p + 3p \cdot 3}{4p + 3} = \frac{12p^2 + 9p}{4p + 3}$

Теперь подставим это выражение обратно в исходное и выполним вычитание дробей:

$\frac{12p^2}{4p + 3} - \frac{12p^2 + 9p}{4p + 3}$

Так как знаменатели одинаковы, вычитаем числители:

$\frac{12p^2 - (12p^2 + 9p)}{4p + 3}$

Раскроем скобки в числителе, обращая внимание на знак минус перед скобкой:

$\frac{12p^2 - 12p^2 - 9p}{4p + 3}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{-9p}{4p + 3}$

Знак минус можно вынести перед дробью:

$-\frac{9p}{4p + 3}$

Ответ: $-\frac{9p}{4p + 3}$

12. Найдите значение выражения $ \frac{1}{c} - \frac{c^2 - 14}{7c} + \frac{c}{7} $, если $ c = \frac{1}{3} $.

Для нахождения значения выражения сначала упростим его. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:

$\frac{1}{c} - \frac{c^2 - 14}{7c} + \frac{c}{7}$

Знаменатели дробей: $c$, $7c$ и $7$. Наименьшим общим знаменателем для них является $7c$.

Приведем каждую дробь к знаменателю $7c$.

• Первую дробь $\frac{1}{c}$ домножим на дополнительный множитель $7$:
  $\frac{1 \cdot 7}{c \cdot 7} = \frac{7}{7c}$

• Вторая дробь $\frac{c^2 - 14}{7c}$ уже имеет нужный знаменатель.

• Третью дробь $\frac{c}{7}$ домножим на дополнительный множитель $c$:
  $\frac{c \cdot c}{7 \cdot c} = \frac{c^2}{7c}$

Теперь объединим дроби, выполнив сложение и вычитание их числителей:

$\frac{7}{7c} - \frac{c^2 - 14}{7c} + \frac{c^2}{7c} = \frac{7 - (c^2 - 14) + c^2}{7c}$

Раскроем скобки в числителе. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри скобок на противоположные:

$\frac{7 - c^2 + 14 + c^2}{7c}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{(7 + 14) + (-c^2 + c^2)}{7c} = \frac{21 + 0}{7c} = \frac{21}{7c}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{21}{7c} = \frac{3}{c}$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданное значение $c = \frac{1}{3}$:

$\frac{3}{c} = \frac{3}{\frac{1}{3}}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю:

$3 \div \frac{1}{3} = 3 \cdot \frac{3}{1} = 9$

Ответ: 9