Номер 10, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

10. Выполните сложение:

$\frac{2a}{3a-6} + \frac{5a}{14-7a}.$

Для выполнения сложения алгебраических дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Исходное выражение:

$\frac{2a}{3a-6} + \frac{5a}{14-7a}$

1. Первым шагом разложим на множители знаменатели каждой дроби, вынося общий множитель за скобки:

В знаменателе первой дроби $3a-6$ вынесем 3: $3(a-2)$.

В знаменателе второй дроби $14-7a$ вынесем 7: $7(2-a)$.

После этого выражение примет вид:

$\frac{2a}{3(a-2)} + \frac{5a}{7(2-a)}$

2. Заметим, что выражения в скобках в знаменателях, $(a-2)$ и $(2-a)$, являются противоположными, то есть $2-a = -(a-2)$. Используем это, чтобы упростить выражение. Вынесем знак минус из знаменателя второй дроби:

$\frac{5a}{7(2-a)} = \frac{5a}{-7(a-2)} = -\frac{5a}{7(a-2)}$

3. Теперь исходное выражение можно переписать как разность дробей:

$\frac{2a}{3(a-2)} - \frac{5a}{7(a-2)}$

4. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для получившихся дробей. Он равен произведению всех уникальных множителей знаменателей: $3 \cdot 7 \cdot (a-2) = 21(a-2)$.

5. Приведем дроби к общему знаменателю. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на дополнительный множитель 7, а второй дроби — на 3:

$\frac{2a \cdot 7}{3(a-2) \cdot 7} - \frac{5a \cdot 3}{7(a-2) \cdot 3} = \frac{14a}{21(a-2)} - \frac{15a}{21(a-2)}$

6. Теперь, когда у дробей одинаковый знаменатель, выполним вычитание их числителей:

$\frac{14a - 15a}{21(a-2)} = \frac{-a}{21(a-2)}$

Результат можно записать, вынеся знак минус перед дробью.

Ответ: $-\frac{a}{21(a-2)}$