Страница 98 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь планировал изготовить 200 деталей за определённый срок. Однако из-за сложности деталей он изготавливал в час на 5 деталей меньше, чем планировал, и закончил работу на 2 ч позже. Пусть токарь планировал изготавливать $x$ деталей в час. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{200}{x+5} - \frac{200}{x} = 2$

2) $\frac{200}{x-5} - \frac{200}{x} = 2$

3) $\frac{200}{x} - \frac{200}{x+5} = 2$

4) $\frac{200}{x} - \frac{200}{x-5} = 2$

Для решения задачи составим математическую модель, опираясь на её условие.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать в час (плановая производительность).

Тогда время, за которое он планировал выполнить всю работу (изготовить 200 деталей), можно выразить формулой:

$T_{план} = \frac{Объём работы}{Плановая производительность} = \frac{200}{x}$ часов.

По условию, из-за сложности деталей токарь изготавливал в час на 5 деталей меньше, чем планировал. Следовательно, его фактическая производительность была $(x - 5)$ деталей в час.

Время, которое он фактически затратил на выполнение всей работы, составляет:

$T_{факт} = \frac{Объём работы}{Фактическая производительность} = \frac{200}{x - 5}$ часов.

Известно, что токарь закончил работу на 2 часа позже, чем планировал. Это означает, что фактическое время больше планового на 2 часа:

$T_{факт} - T_{план} = 2$

Подставим в это равенство выражения для времени, которые мы получили ранее:

$\frac{200}{x - 5} - \frac{200}{x} = 2$

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами. Оно совпадает с уравнением под номером 2.

Ответ: 2

2. В раствор, содержащий 20 г соли, добавили 20 г соли, после чего концентрация соли увеличилась на 15%.

Пусть раствор содержал $x$ г воды. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 15$

2) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 0,15$

3) $\frac{20}{x+20} - \frac{40}{x+40} = 15$

4) $\frac{20}{x+20} - \frac{40}{x+40} = 0,15$

Давайте разберем задачу по шагам, чтобы составить правильное уравнение.

1. Начальное состояние раствора.

Пусть $x$ г — это начальная масса воды в растворе.

Изначально в растворе было 20 г соли.

Тогда общая масса начального раствора составляет: $m_1 = (\text{масса соли}) + (\text{масса воды}) = 20 + x$ г.

Концентрация вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к общей массе раствора. Начальная концентрация соли (в долях) равна:

$C_1 = \frac{\text{масса соли}}{\text{масса раствора}} = \frac{20}{x + 20}$

2. Конечное состояние раствора.

В раствор добавили еще 20 г соли.

Новая масса соли в растворе: $20 + 20 = 40$ г.

Масса воды осталась прежней — $x$ г.

Новая общая масса раствора: $m_2 = (\text{новая масса соли}) + (\text{масса воды}) = 40 + x$ г.

Конечная концентрация соли (в долях) равна:

$C_2 = \frac{\text{новая масса соли}}{\text{новая масса раствора}} = \frac{40}{x + 40}$

3. Составление уравнения.

По условию, концентрация соли увеличилась на 15%. Это означает, что разница между конечной и начальной концентрациями составляет 15 процентных пунктов.

Чтобы работать с долями, нужно перевести проценты в доли: $15\% = \frac{15}{100} = 0,15$.

Так как концентрация увеличилась, то $C_2$ больше, чем $C_1$. Их разница равна 0,15:

$C_2 - C_1 = 0,15$

Подставляем выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{40}{x + 40} - \frac{20}{x + 20} = 0,15$

Это уравнение в точности совпадает с вариантом под номером 2).

Почему другие варианты не подходят:

• Вариант 1) $\frac{40}{x + 40} - \frac{20}{x + 20} = 15$: Неверно, так как в левой части уравнения вычисляется разность долей (числа от 0 до 1), а в правой части стоит число 15, а не 0,15.
• Варианты 3) и 4): В них из начальной концентрации вычитается конечная. Так как концентрация увеличилась, результат должен быть отрицательным, а в правой части уравнений стоят положительные числа (15 и 0,15).

Таким образом, единственно верной математической моделью является уравнение из второго варианта.

Ответ: 2) $\frac{40}{x+40} - \frac{20}{x+20} = 0,15$

3. Катер прошёл 40 км по течению реки и 30 км противтечения, затратив на весь путь 5 ч. Найдите скоростькатера в стоячей воде, если скорость течения рекиравна 5 км/ч.

Пусть собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч. По условию задачи, скорость течения реки равна 5 км/ч.

Тогда скорость катера по течению реки составляет $x + 5$ км/ч, а скорость катера против течения реки — $x - 5$ км/ч. Для того чтобы катер мог двигаться против течения, его собственная скорость должна быть больше скорости течения, то есть $x > 5$.

Время, затраченное на путь по течению, равно отношению расстояния к скорости по течению:
$t_{по\;течению} = \frac{40}{x+5}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, равно отношению расстояния к скорости против течения:
$t_{против\;течения} = \frac{30}{x-5}$ ч.

Общее время, затраченное на весь путь, составляет 5 часов. Составим и решим уравнение:

$\frac{40}{x+5} + \frac{30}{x-5} = 5$

Приведём левую часть уравнения к общему знаменателю $(x+5)(x-5)$:

$\frac{40(x-5) + 30(x+5)}{(x+5)(x-5)} = 5$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{40x - 200 + 30x + 150}{x^2 - 25} = 5$

$\frac{70x - 50}{x^2 - 25} = 5$

Умножим обе части уравнения на $x^2 - 25$ (при условии, что $x \neq \pm 5$):

$70x - 50 = 5(x^2 - 25)$

$70x - 50 = 5x^2 - 125$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 70x - 75 = 0$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 - 14x - 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$

$\sqrt{D} = 16$

Находим корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Корень $x_2 = -1$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $x > 5$.

Таким образом, скорость катера в стоячей воде составляет 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

4. Для наполнения бассейна водой через первую трубу требуется на 9 ч меньше времени, чем через вторую трубу. Если открыть одновременно обе трубы, то бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу?

Примем весь объем работы по наполнению бассейна за 1.

Пусть время, необходимое для наполнения бассейна через первую трубу, равно $x$ часов.

Поскольку первой трубе требуется на 9 часов меньше времени, чем второй, то время, необходимое для наполнения бассейна через вторую трубу, составляет $(x + 9)$ часов.

Производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы равна $\frac{1}{x+9}$ бассейна в час.

При одновременной работе обеих труб их общая производительность является суммой их производительностей:

$P_{общая} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}$

Из условия известно, что при совместной работе бассейн наполняется за 6 часов. Это означает, что их общая производительность также равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час.

Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{x+9+x}{x(x+9)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+9}{x^2+9x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$6(2x+9) = 1(x^2+9x)$

$12x + 54 = x^2 + 9x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 12x - 54 = 0$

$x^2 - 3x - 54 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательной величиной. Следовательно, корень $x_2 = -6$ не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение – $x = 9$. Это означает, что первая труба может наполнить бассейн за 9 часов.

Ответ: 9 часов.