Номер 4, страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Для наполнения бассейна водой через первую трубу требуется на 9 ч меньше времени, чем через вторую трубу. Если открыть одновременно обе трубы, то бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу?

Примем весь объем работы по наполнению бассейна за 1.

Пусть время, необходимое для наполнения бассейна через первую трубу, равно $x$ часов.

Поскольку первой трубе требуется на 9 часов меньше времени, чем второй, то время, необходимое для наполнения бассейна через вторую трубу, составляет $(x + 9)$ часов.

Производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Производительность второй трубы равна $\frac{1}{x+9}$ бассейна в час.

При одновременной работе обеих труб их общая производительность является суммой их производительностей:

$P_{общая} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+9}$

Из условия известно, что при совместной работе бассейн наполняется за 6 часов. Это означает, что их общая производительность также равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час.

Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+9} = \frac{1}{6}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+9)$:

$\frac{x+9+x}{x(x+9)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+9}{x^2+9x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$6(2x+9) = 1(x^2+9x)$

$12x + 54 = x^2 + 9x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 9x - 12x - 54 = 0$

$x^2 - 3x - 54 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = \sqrt{225} = 15$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 15}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 15}{2 \cdot 1} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательной величиной. Следовательно, корень $x_2 = -6$ не соответствует условию задачи.

Таким образом, единственное подходящее решение – $x = 9$. Это означает, что первая труба может наполнить бассейн за 9 часов.

Ответ: 9 часов.