Номер 3, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

3. Моторная лодка прошла 48 км против течения реки и 24 км по течению, затратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость моторной лодки в стоячей воде. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + 4)$ км/ч, а скорость лодки против течения реки — $(x - 4)$ км/ч. Важно отметить, что для движения против течения собственная скорость лодки должна быть больше скорости течения, то есть $x > 4$.

Время, которое лодка затратила на путь против течения, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S_1}{v_1}$. Подставив значения, получим:$$ t_1 = \frac{48}{x - 4} \text{ ч} $$

Время, которое лодка затратила на путь по течению, можно выразить формулой $t_2 = \frac{S_2}{v_2}$. Подставив значения, получим:$$ t_2 = \frac{24}{x + 4} \text{ ч} $$

По условию задачи, на весь путь было затрачено 4 часа. Это означает, что $t_1 + t_2 = 4$. Составим и решим уравнение:$$ \frac{48}{x - 4} + \frac{24}{x + 4} = 4 $$

Для удобства вычислений разделим обе части уравнения на 4:$$ \frac{12}{x - 4} + \frac{6}{x + 4} = 1 $$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x - 4)(x + 4)$:$$ \frac{12(x + 4) + 6(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} = 1 $$

Избавимся от знаменателя, умножив обе части уравнения на $(x - 4)(x + 4)$, при условии что $x \neq 4$ и $x \neq -4$:$$ 12(x + 4) + 6(x - 4) = (x - 4)(x + 4) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$$ 12x + 48 + 6x - 24 = x^2 - 16 $$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:$$ 18x + 24 = x^2 - 16 $$$$ x^2 - 18x - 16 - 24 = 0 $$$$ x^2 - 18x - 40 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$$ D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-40) = 324 + 160 = 484 $$Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. Найдем их:$$ \sqrt{D} = \sqrt{484} = 22 $$$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 + 22}{2 \cdot 1} = \frac{40}{2} = 20 $$$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{18 - 22}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет физическому смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 20$ удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде составляет 20 км/ч.

Выполним проверку:
Время движения против течения: $\frac{48}{20 - 4} = \frac{48}{16} = 3$ часа.
Время движения по течению: $\frac{24}{20 + 4} = \frac{24}{24} = 1$ час.
Общее время: $3 + 1 = 4$ часа, что соответствует условию задачи.

Ответ: 20 км/ч.