Номер 4, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

4. Для наполнения бассейна водой через первую трубу требуется на 5 ч больше времени, чем через вторую трубу. Если открыть одновременно обе трубы, то бассейн будет наполнен за 6 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу?

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть всю работу по наполнению бассейна мы примем за 1.

Пусть $x$ часов – время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая в одиночку.

Согласно условию, первой трубе требуется на 5 часов больше времени, чем второй. Следовательно, время, за которое первая труба наполнит бассейн, равно $(x+5)$ часов.

Теперь определим производительность (скорость работы) каждой трубы. Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.
Производительность первой трубы: $p_1 = \frac{1}{x+5}$ (часть бассейна в час).
Производительность второй трубы: $p_2 = \frac{1}{x}$ (часть бассейна в час).

Когда обе трубы открыты одновременно, их производительности складываются. Совместная производительность равна:
$p_{общ} = p_1 + p_2 = \frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}$

По условию, при совместной работе бассейн наполняется за 6 часов. Это означает, что совместная производительность, умноженная на время, равна всей работе (т.е. 1):
$(\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x}) \cdot 6 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$.
Разделим обе части на 6:
$\frac{1}{x+5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$:
$\frac{x + (x+5)}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$
$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$6(2x+5) = 1(x^2+5x)$
$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$
$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$
$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Значит, корень $x_2 = -3$ не подходит по смыслу задачи.
Таким образом, время наполнения бассейна второй трубой составляет $x = 10$ часов.

Вопрос задачи – за сколько часов можно наполнить бассейн, открыв только первую трубу. Время работы первой трубы равно $x+5$.
$10 + 5 = 15$ часов.

Ответ: бассейн можно наполнить, открыв только первую трубу, за 15 часов.