Номер 1, страница 97, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь планировал изготовить 140 деталей за определённый срок. Однако, изготовляя в час на 6 деталей больше, чем планировал, он закончил работу на 3 ч раньше.

Пусть токарь планировал изготавливать $x$ деталей в час. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3$

2) $\frac{140}{x + 6} - \frac{140}{x} = 3$

3) $\frac{140}{x} - \frac{140}{x - 6} = 3$

4) $\frac{140}{x - 6} - \frac{140}{x} = 3$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является правильной математической моделью для описанной ситуации, необходимо последовательно перевести условия задачи на язык математики.

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать в час (плановая производительность).

Общий объем работы составляет 140 деталей.

Время, которое токарь планировал потратить на всю работу, можно выразить как отношение общего объема работы к плановой производительности:

Плановое время = $ \frac{140}{x} $ часов.

По условию, токарь увеличил свою производительность на 6 деталей в час. Следовательно, его фактическая производительность составила:

Фактическая производительность = $x + 6$ деталей в час.

Фактическое время, затраченное на изготовление 140 деталей с новой производительностью, равно:

Фактическое время = $ \frac{140}{x + 6} $ часов.

В задаче указано, что токарь закончил работу на 3 часа раньше. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 3 часа. Поскольку производительность увеличилась, фактическое время меньше планового. Таким образом, мы должны из большего времени (планового) вычесть меньшее (фактическое), чтобы получить положительную разницу в 3 часа.

Плановое время – Фактическое время = 3

Подставим полученные выражения в это равенство:

$ \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3 $

Теперь проанализируем предложенные в задаче варианты уравнений.

1) $ \frac{140}{x} - \frac{140}{x + 6} = 3 $

Это уравнение в точности соответствует нашей модели. Из планового времени ($ \frac{140}{x} $) вычитается фактическое время ($ \frac{140}{x+6} $), и разница равна 3 часам. Это правильное уравнение.

2) $ \frac{140}{x + 6} - \frac{140}{x} = 3 $

Это уравнение неверно, так как в нем из фактического (меньшего) времени вычитается плановое (большее), что должно было бы дать отрицательный результат. Данное уравнение описывало бы ситуацию, в которой работа была закончена на 3 часа позже, а не раньше.

3) $ \frac{140}{x} - \frac{140}{x - 6} = 3 $

Это уравнение неверно, потому что оно предполагает, что фактическая производительность была $x - 6$ деталей в час, то есть на 6 деталей меньше плановой, что противоречит условию задачи.

4) $ \frac{140}{x - 6} - \frac{140}{x} = 3 $

Это уравнение неверно по двум причинам: используется неверная фактическая производительность ($x-6$), и оно описывает ситуацию, когда работа заняла бы больше времени, чем планировалось.

Следовательно, единственным верным уравнением является первое.

Ответ: 1