Номер 2, страница 96, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Укажите множество корней уравнения

$\frac{x^2 + 10x + 25}{x^2 + 6x + 5} = 0.$

1) $\{-5, -1\}$

2) $\{-5\}$

3) $\{-1\}$

4) $\emptyset$

Чтобы решить данное рациональное уравнение, необходимо найти значения переменной $x$, при которых числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это можно записать в виде системы: $$ \begin{cases} x^2 + 10x + 25 = 0, \\ x^2 + 6x + 5 \neq 0. \end{cases} $$

Сначала решим первое уравнение системы: $x^2 + 10x + 25 = 0$.
Левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы, так как $x^2 + 10x + 25 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x+5)^2$.
Уравнение принимает вид: $$ (x+5)^2 = 0 $$ Отсюда следует, что $x+5 = 0$, то есть $x = -5$.

Теперь проверим второе условие системы, которое определяет область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель не должен равняться нулю: $x^2 + 6x + 5 \neq 0$.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль, решив уравнение $x^2 + 6x + 5 = 0$.
Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. $$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -6 \\ x_1 \cdot x_2 = 5 \end{cases} $$ Подбором находим корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Следовательно, область допустимых значений: $x \neq -1$ и $x \neq -5$.

Сопоставим результаты. Единственный корень числителя $x = -5$ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Это означает, что $x = -5$ является посторонним корнем.

Поскольку других корней у числителя нет, исходное уравнение не имеет решений. Множество корней уравнения пусто.

Ответ: $\emptyset$