Страница 99 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Токарь планировал изготовить 216 деталей за определённый срок. Однако, изготовляя в час на 9 деталей больше, чем планировал, он закончил работу на 4 ч раньше.

Пусть токарь изготавливал x деталей в час. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $\frac{216}{x} - \frac{216}{x - 9} = 4$

2) $\frac{216}{x + 9} - \frac{216}{x} = 4$

3) $\frac{216}{x - 9} - \frac{216}{x} = 4$

4) $\frac{216}{x} - \frac{216}{x + 9} = 4$

Для того чтобы определить, какое из уравнений является математической моделью ситуации, проанализируем условие задачи и введём переменные.

Пусть $x$ деталей в час — это фактическая производительность токаря (сколько деталей он изготавливал в час на самом деле).

По условию, токарь изготавливал в час на 9 деталей больше, чем планировал. Это значит, что плановая производительность была на 9 деталей в час меньше, чем фактическая. Таким образом, плановая производительность составляет $(x - 9)$ деталей в час.

Общее количество деталей, которое необходимо было изготовить, — 216.

Время, которое токарь планировал потратить на всю работу, равно отношению общего количества деталей к плановой производительности:
$T_{план} = \frac{216}{x-9}$ (часов).

Фактическое время, которое токарь затратил на работу, равно отношению общего количества деталей к фактической производительности:
$T_{факт} = \frac{216}{x}$ (часов).

В задаче сказано, что токарь закончил работу на 4 часа раньше. Это означает, что разница между плановым временем и фактическим временем составляет 4 часа. Плановое время больше фактического, так как производительность была выше.
$T_{план} - T_{факт} = 4$

Подставим выражения для времени в это равенство и получим уравнение:
$\frac{216}{x - 9} - \frac{216}{x} = 4$

Сравнивая полученное уравнение с предложенными вариантами, видим, что оно совпадает с уравнением под номером 3.

Ответ: 3

2. Из раствора, содержащего 15 г соли, испарили 10 г воды, после чего концентрация соли увеличилась на 5%. Пусть раствор первоначально содержал x г воды. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

1) $ \frac{15}{x+15} - \frac{15}{x+5} = 5 $

2) $ \frac{15}{x+15} - \frac{15}{x+5} = 0,05 $

3) $ \frac{15}{x+5} - \frac{15}{x+15} = 5 $

4) $ \frac{15}{x+5} - \frac{15}{x+15} = 0,05 $

Для составления уравнения, которое является математической моделью данной ситуации, необходимо выразить начальную и конечную концентрации соли в растворе.

1. Начальная концентрация.

По условию, в растворе содержится 15 г соли и $x$ г воды. Общая масса первоначального раствора складывается из массы соли и массы воды:

Масса раствора₁ = $15 + x$ (г).

Концентрация (массовая доля) вещества в растворе — это отношение массы этого вещества к общей массе раствора. Таким образом, начальная концентрация соли равна:

$C_1 = \frac{15}{x+15}$

2. Конечная концентрация.

Из раствора испарили 10 г воды. Масса соли при этом не изменилась (15 г), а масса воды уменьшилась на 10 г и стала равной $(x - 10)$ г. Новая общая масса раствора стала:

Масса раствора₂ = $15 + (x - 10) = x + 5$ (г).

Конечная концентрация соли в растворе равна:

$C_2 = \frac{15}{x+5}$

3. Составление уравнения.

В условии сказано, что концентрация соли увеличилась на 5%. Это означает, что разница между конечной ($C_2$) и начальной ($C_1$) концентрациями составляет 5%. Переведем проценты в десятичную дробь: $5\% = 0,05$.

Поскольку концентрация увеличилась, $C_2$ больше $C_1$. Уравнение будет выглядеть так:

$C_2 - C_1 = 0,05$

Подставим в это уравнение выражения для $C_1$ и $C_2$:

$\frac{15}{x+5} - \frac{15}{x+15} = 0,05$

Сравнив полученное уравнение с предложенными вариантами, мы видим, что оно соответствует варианту под номером 4.

Ответ: 4

3. Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. От пристани А в направлении пристани В по течению реки отправился плот. Через 3 ч вслед за плотом от пристани А отправилась моторная лодка, которая, подойдя к пристани В, тотчас повернула обратно и возвратилась к пристани А. К этому времени плот прошёл 30 км. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

Для решения задачи введём следующие обозначения:
$S$ — расстояние между пристанями A и B, $S = 72$ км.
$v_{теч}$ — скорость течения реки, $v_{теч} = 3$ км/ч.
$v_{л}$ — искомая скорость лодки в стоячей воде (собственная скорость лодки).

1. Скорость плота равна скорости течения реки, так как у плота нет собственного двигателя. Таким образом, $v_{плота} = v_{теч} = 3$ км/ч. К моменту возвращения лодки в A плот прошёл 30 км. Найдём, сколько времени плот находился в пути: $t_{плота} = \frac{S_{плота}}{v_{плота}} = \frac{30 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 10$ часов.

2. Моторная лодка отправилась через 3 часа после плота. Следовательно, общее время движения лодки составляет: $t_{лодки} = t_{плота} - 3 \text{ ч} = 10 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 7$ часов.

3. Лодка прошла путь от A до B (по течению) и от B до A (против течения). Скорость лодки по течению: $v_{по\ теч} = v_{л} + v_{теч} = v_{л} + 3$ км/ч.
Скорость лодки против течения: $v_{против\ теч} = v_{л} - v_{теч} = v_{л} - 3$ км/ч.
Время, затраченное на путь от A до B: $t_{А \to В} = \frac{S}{v_{по\ теч}} = \frac{72}{v_{л} + 3}$ ч.
Время, затраченное на путь от B до A: $t_{В \to А} = \frac{S}{v_{против\ теч}} = \frac{72}{v_{л} - 3}$ ч.

4. Общее время движения лодки равно сумме времени движения по течению и против течения: $t_{лодки} = t_{А \to В} + t_{В \to А}$ Составим уравнение, подставив известные значения: $7 = \frac{72}{v_{л} + 3} + \frac{72}{v_{л} - 3}$

5. Решим полученное уравнение. Умножим обе части на общий знаменатель $(v_{л} + 3)(v_{л} - 3) = v_{л}^2 - 9$, при условии, что $v_{л} \neq 3$ и $v_{л} \neq -3$. Так как лодка движется против течения, её собственная скорость должна быть больше скорости течения, т.е. $v_{л} > 3$. $7(v_{л}^2 - 9) = 72(v_{л} - 3) + 72(v_{л} + 3)$
$7v_{л}^2 - 63 = 72v_{л} - 216 + 72v_{л} + 216$
$7v_{л}^2 - 63 = 144v_{л}$
$7v_{л}^2 - 144v_{л} - 63 = 0$

6. Мы получили квадратное уравнение. Найдём его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-63) = 20736 + 1764 = 22500$
$\sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150$
$v_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 + 150}{2 \cdot 7} = \frac{294}{14} = 21$
$v_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{144 - 150}{2 \cdot 7} = \frac{-6}{14} = -\frac{3}{7}$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень $v_{л2}$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость лодки в стоячей воде равна 21 км/ч.

Ответ: 21 км/ч.

4. Первому рабочему для выполнения производственного задания требуется на 4 ч меньше, чем второму. Первый рабочий трудился 2 ч, а затем его сменил второй. После того как второй рабочий трудился 3 ч, оказалось, что выполнено 50% задания. За сколько часов первый рабочий может выполнить это задание самостоятельно?

Пусть время, необходимое первому рабочему для выполнения всего задания, равно $t$ часов. Согласно условию, первому рабочему требуется на 4 часа меньше, чем второму, значит, второму рабочему для выполнения всего задания потребуется $(t + 4)$ часов.

Производительность труда (часть задания, выполняемая за 1 час) для первого рабочего составляет $\frac{1}{t}$, а для второго — $\frac{1}{t+4}$.

Первый рабочий трудился 2 часа и выполнил часть задания, равную $2 \cdot \frac{1}{t} = \frac{2}{t}$. Затем второй рабочий трудился 3 часа и выполнил часть задания, равную $3 \cdot \frac{1}{t+4} = \frac{3}{t+4}$.

Вместе они выполнили 50% задания, что составляет 0.5 или $\frac{1}{2}$ от всего задания. Составим уравнение, сложив части работы, выполненные обоими рабочими: $$ \frac{2}{t} + \frac{3}{t+4} = \frac{1}{2} $$

Решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $t(t+4)$: $$ \frac{2(t+4) + 3t}{t(t+4)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{2t + 8 + 3t}{t^2 + 4t} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{5t + 8}{t^2 + 4t} = \frac{1}{2} $$

Используя свойство пропорции, получаем: $$ 2(5t + 8) = 1(t^2 + 4t) $$ $$ 10t + 16 = t^2 + 4t $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ t^2 + 4t - 10t - 16 = 0 $$ $$ t^2 - 6t - 16 = 0 $$

Найдем корни этого уравнения, например, с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100$ $$ t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 10}{2} = \frac{16}{2} = 8 $$ $$ t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 10}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Так как время ($t$) не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, время, за которое первый рабочий может выполнить задание самостоятельно, равно 8 часам.

Проверка:
Время первого рабочего — 8 ч, производительность — $\frac{1}{8}$.
Время второго рабочего — $8+4=12$ ч, производительность — $\frac{1}{12}$.
Работа, выполненная за 2 ч первым и 3 ч вторым: $2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{12} = \frac{2}{8} + \frac{3}{12} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Это составляет 50% задания, что соответствует условию.

Ответ: 8 часов.