Страница 91 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какой из данных многочленов не является квадратным трёхчленом?

1) $x^2 + 9x + 17$

2) $9x^2 + 4x$

3) $x^4 - 2x + 1$

4) $\frac{2}{7}x^2 - 6x + 10$

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$. Таким образом, многочлен должен удовлетворять двум основным условиям:
1. Его наивысшая степень должна быть равна 2 (это делает его квадратным).
2. Он должен состоять из трёх членов (это делает его трёхчленом).
Рассмотрим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + 9x + 17$
Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Многочлен состоит из трёх членов ($x^2$, $9x$ и $17$). Оба условия выполняются. Следовательно, это квадратный трёхчлен.

2) $9x^2 + 4x$
Наивысшая степень переменной $x$ равна 2, то есть многочлен является квадратным. Однако он состоит только из двух членов ($9x^2$ и $4x$), поэтому он является двучленом, а не трёхчленом. Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

3) $x^4 - 2x + 1$
Этот многочлен состоит из трёх членов ($x^4$, $-2x$ и $1$), то есть является трёхчленом. Однако его наивысшая степень равна 4, а не 2. Следовательно, он не является квадратным. Это трёхчлен четвёртой степени, а не квадратный трёхчлен.

4) $\frac{2}{7}x^2 - 6x + 10$
Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Многочлен состоит из трёх членов ($\frac{2}{7}x^2$, $-6x$ и $10$). Оба условия выполняются. Следовательно, это квадратный трёхчлен.

Таким образом, два многочлена не являются квадратными трёхчленами: №2 (так как это двучлен) и №3 (так как он не квадратный). В задачах с выбором одного ответа, как правило, ищется наиболее существенное несоответствие. Степень многочлена является его фундаментальной характеристикой. Многочлен $x^4 - 2x + 1$ относится к многочленам четвёртой степени, что является более сильным отличием от определения "квадратный трёхчлен", чем отсутствие одного члена у квадратного многочлена $9x^2 + 4x$. Поэтому в качестве ответа следует выбрать вариант 3.

Ответ: 3

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 + 4x - 30$

2) $0,4x^2 - 6x + 5$

3) $9x^2 + x$

4) $x^2 - 8x + 20$

Квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на линейные множители, если соответствующее ему квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет действительные корни. Это возможно, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ неотрицателен ($D \ge 0$). Если же дискриминант отрицателен ($D < 0$), то у уравнения нет действительных корней, и трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами.

Проверим дискриминант для каждого из предложенных трёхчленов.

1) $x^2 + 4x - 30$
Здесь $a=1$, $b=4$, $c=-30$.
$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 16 + 120 = 136$.
Поскольку $D > 0$, этот трёхчлен можно разложить на множители.

2) $0,4x^2 - 6x + 5$
Здесь $a=0,4$, $b=-6$, $c=5$.
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 0,4 \cdot 5 = 36 - 8 = 28$.
Поскольку $D > 0$, этот трёхчлен можно разложить на множители.

3) $9x^2 + x$
Этот двучлен можно представить как $9x^2 + x + 0$, где $a=9$, $b=1$, $c=0$.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot 0 = 1$.
Поскольку $D > 0$, этот двучлен можно разложить на множители. Проще всего это сделать вынесением общего множителя за скобки: $x(9x+1)$.

4) $x^2 - 8x + 20$
Здесь $a=1$, $b=-8$, $c=20$.
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20 = 64 - 80 = -16$.
Поскольку $D < 0$, у соответствующего квадратного уравнения нет действительных корней, и следовательно, этот трёхчлен нельзя разложить на линейные множители.

Ответ: $x^2 - 8x + 20$.

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 8x - 48$;

2) $12x^2 - x - 1$.

1) $x^2 - 8x - 48$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Сначала найдём корни уравнения $x^2 - 8x - 48 = 0$.

Для этого вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$.

Теперь найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Подставим найденные корни в формулу разложения. В данном трёхчлене коэффициент $a = 1$.
$x^2 - 8x - 48 = 1 \cdot (x - 12)(x - (-4)) = (x - 12)(x + 4)$.

Ответ: $(x - 12)(x + 4)$

2) $12x^2 - x - 1$

Действуем аналогично. Найдём корни квадратного уравнения $12x^2 - x - 1 = 0$.

Коэффициенты: $a = 12$, $b = -1$, $c = -1$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-1) = 1 + 48 = 49$.

Найдём корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 + 7}{24} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 12} = \frac{1 - 7}{24} = \frac{-6}{24} = -\frac{1}{4}$.

Подставим коэффициент $a=12$ и найденные корни в формулу $a(x - x_1)(x - x_2)$:
$12x^2 - x - 1 = 12(x - \frac{1}{3})(x - (-\frac{1}{4})) = 12(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{4})$.

Чтобы получить множители с целыми коэффициентами, разложим старший коэффициент $12$ на множители $3$ и $4$ и внесём их в соответствующие скобки:
$12(x - \frac{1}{3})(x + \frac{1}{4}) = (3 \cdot (x - \frac{1}{3})) \cdot (4 \cdot (x + \frac{1}{4})) = (3x - 1)(4x + 1)$.

Ответ: $(3x - 1)(4x + 1)$

4. Сократите дробь:

1) $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$;

2) $\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3}$.

1)

Чтобы сократить дробь $\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6}$, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Числитель $16x^2 - 24x + 9$ представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В данном случае $a = 4x$ и $b = 3$.
$16x^2 - 24x + 9 = (4x)^2 - 2 \cdot (4x) \cdot 3 + 3^2 = (4x - 3)^2$.

Знаменатель $4x^2 + 5x - 6$ — это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители, найдем его корни, решив квадратное уравнение $4x^2 + 5x - 6 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 11}{2 \cdot 4} = \frac{-16}{8} = -2$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 11}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
Теперь разложим знаменатель на множители по формуле $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$:
$4x^2 + 5x - 6 = 4(x - (-2))(x - \frac{3}{4}) = 4(x + 2)(x - \frac{3}{4}) = (x+2)(4x-3)$.

Теперь подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь и сократим общий множитель $(4x-3)$:
$\frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + 5x - 6} = \frac{(4x - 3)^2}{(x+2)(4x-3)} = \frac{4x - 3}{x+2}$.

Ответ: $\frac{4x-3}{x+2}$.

2)

Чтобы сократить дробь $\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3}$, разложим на множители ее числитель и знаменатель.

Разложим на множители числитель $2 + x - 3x^2$. Для удобства запишем его в стандартном виде: $-3x^2 + x + 2$. Найдем корни уравнения $-3x^2 + x + 2 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 2 = 1 + 24 = 25 = 5^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{-6}{-6} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot (-3)} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$
Разложим числитель на множители:
$-3x^2 + x + 2 = -3(x - 1)(x - (-\frac{2}{3})) = -3(x - 1)(x + \frac{2}{3}) = -(x-1)(3x+2)$.

Разложим на множители знаменатель $2x^2 - 5x + 3$. Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 3 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Разложим знаменатель на множители:
$2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)(x - \frac{3}{2}) = (x-1)(2x-3)$.

Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение на общий множитель $(x-1)$:
$\frac{2 + x - 3x^2}{2x^2 - 5x + 3} = \frac{-(x-1)(3x+2)}{(x-1)(2x-3)} = \frac{-(3x+2)}{2x-3} = \frac{3x+2}{-(2x-3)} = \frac{3x+2}{3-2x}$.

Ответ: $\frac{3x+2}{3-2x}$.

5. Упростите выражение

$\frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{6x^2+11x-2}$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо привести дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение:$$ \frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{6x^2+11x-2} $$

Сначала разложим на множители знаменатель второй дроби $6x^2+11x-2$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $6x^2+11x-2=0$, используя формулу корней через дискриминант.

Вычислим дискриминант:$$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 121 + 48 = 169 = 13^2 $$

Теперь найдем корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} $$$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 13}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2 $$

Используя найденные корни, разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$:$$ 6x^2+11x-2 = 6(x - \frac{1}{6})(x - (-2)) = (6x-1)(x+2) $$

Подставим разложенный знаменатель обратно в исходное выражение:$$ \frac{1}{x+2} - \frac{x^2+10x+3}{(6x-1)(x+2)} $$

Общим знаменателем является выражение $(6x-1)(x+2)$. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на множитель $(6x-1)$:$$ \frac{1 \cdot (6x-1)}{(x+2)(6x-1)} - \frac{x^2+10x+3}{(6x-1)(x+2)} $$

Выполним вычитание дробей, записав их под общим знаменателем:$$ \frac{(6x-1) - (x^2+10x+3)}{(6x-1)(x+2)} $$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:$$ \frac{6x - 1 - x^2 - 10x - 3}{(6x-1)(x+2)} = \frac{-x^2 - 4x - 4}{(6x-1)(x+2)} $$

Вынесем знак "минус" за скобки в числителе:$$ \frac{-(x^2 + 4x + 4)}{(6x-1)(x+2)} $$

Выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы $(x+2)^2$. Подставим это в дробь:$$ \frac{-(x+2)^2}{(6x-1)(x+2)} $$

Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$, при условии что $x \neq -2$:$$ \frac{-(x+2)^{\cancel{2}}}{(6x-1)\cancel{(x+2)}} = \frac{-(x+2)}{6x-1} $$

Окончательное упрощенное выражение:$$ -\frac{x+2}{6x-1} $$

Ответ: $$-\frac{x+2}{6x-1}$$