Страница 89 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какой из данных многочленов не является квадратным трёхчленом?

1) $x^2 - x - 10$

2) $3x^2 + 4$

3) $0.2x^3 + x^2 - 1$

4) $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 5$

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а $a, b, c$ — некоторые числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Таким образом, многочлен является квадратным трёхчленом, если он удовлетворяет двум условиям:

1. Его наивысшая степень равна 2 (он "квадратный").
2. Он состоит ровно из трёх членов (он "трёхчлен").

Проанализируем каждый из предложенных вариантов:

1) $x^2 - x - 10$

Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Многочлен состоит из трёх членов: $x^2$, $-x$, $-10$. Оба условия выполняются, следовательно, это квадратный трёхчлен.

2) $3x^2 + 4$

Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Однако многочлен состоит из двух членов: $3x^2$ и $4$. Так как второе условие не выполняется, это не квадратный трёхчлен (это квадратный двучлен).

3) $0,2x^3 + x^2 - 1$

Наивысшая степень переменной $x$ равна 3. Так как первое, основное, условие не выполняется, этот многочлен не является квадратным. Следовательно, это не квадратный трёхчлен (это кубический трёхчлен).

4) $\frac{1}{6}x^2 - 2x - 5$

Наивысшая степень переменной $x$ равна 2. Многочлен состоит из трёх членов: $\frac{1}{6}x^2$, $-2x$, $-5$. Оба условия выполняются, следовательно, это квадратный трёхчлен.

В задаче требуется найти многочлен, который не является квадратным трёхчленом. Этому условию соответствуют варианты 2 и 3. Однако, характеристика "квадратный" (степень многочлена) является более фундаментальной, чем количество членов. Многочлен $3x^2 + 4$ относится к классу квадратных многочленов, в то время как многочлен $0,2x^3 + x^2 - 1$ относится к совершенно другому классу — кубическим многочленам. Поэтому он является наиболее точным ответом на поставленный вопрос.

Ответ: 3

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 - 8x + 12$

2) $4x^2 + 2x - 19$

3) $4x^2 + 2x + 3$

4) $4x^2 - 8x$

Чтобы определить, можно ли разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на линейные множители, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант $D \ge 0$, то трёхчлен можно разложить на множители. Если $D < 0$, то разложить на линейные множители нельзя. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 - 8x + 12$
Для этого трёхчлена коэффициенты: $a = 1$, $b = -8$, $c = 12$.
Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.
Поскольку $D > 0$, этот трёхчлен можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

2) $4x^2 + 2x - 19$
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 2$, $c = -19$.
Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-19) = 4 + 304 = 308$.
Поскольку $D > 0$, этот трёхчлен можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

3) $4x^2 + 2x + 3$
Коэффициенты: $a = 4$, $b = 2$, $c = 3$.
Найдём дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 4 - 48 = -44$.
Поскольку $D < 0$, этот трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители.
Ответ: нельзя разложить.

4) $4x^2 - 8x$
Это неполный квадратный трёхчлен, который можно разложить, вынеся общий множитель за скобки: $4x(x - 2)$.
Также можно вычислить дискриминант. Коэффициенты: $a = 4$, $b = -8$, $c = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 0 = 64 - 0 = 64$.
Поскольку $D > 0$, это выражение можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 - 5x - 14;$

2) $4x^2 - 9x + 2.$

Чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ являются корнями этого уравнения, то трёхчлен можно разложить по формуле: $a(x - x_1)(x - x_2)$.

1) $x^2 - 5x - 14$

Сначала найдём корни квадратного уравнения $x^2 - 5x - 14 = 0$.

Коэффициенты трёхчлена: $a = 1$, $b = -5$, $c = -14$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$.

$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$.

Теперь подставим найденные корни $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$, а также коэффициент $a = 1$ в формулу разложения:

$x^2 - 5x - 14 = 1 \cdot (x - 7)(x - (-2)) = (x - 7)(x + 2)$.

Ответ: $(x - 7)(x + 2)$.

2) $4x^2 - 9x + 2$

Найдём корни квадратного уравнения $4x^2 - 9x + 2 = 0$.

Коэффициенты трёхчлена: $a = 4$, $b = -9$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 81 - 32 = 49$.

Найдём корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 + 7}{8} = \frac{16}{8} = 2$.

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{9 - 7}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Подставим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = \frac{1}{4}$, а также коэффициент $a = 4$ в формулу разложения:

$4x^2 - 9x + 2 = 4(x - 2)(x - \frac{1}{4})$.

Чтобы избавиться от дроби в скобках, внесём множитель $4$ во вторую скобку:

$4(x - 2)(x - \frac{1}{4}) = (x - 2) \cdot 4(x - \frac{1}{4}) = (x - 2)(4x - 1)$.

Ответ: $(x - 2)(4x - 1)$.

4. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}$;

2) $\frac{x^2 - 5x}{30 - x - x^2}$.

1) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - x - 2}$

Для сокращения дроби необходимо разложить её числитель и знаменатель на множители.

Числитель $x^2 - 4x + 4$ представляет собой полный квадрат разности. Применим формулу сокращенного умножения $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x-2)^2$.

Знаменатель $x^2 - x - 2$ – это квадратный трехчлен. Разложим его на множители. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

$x_1 + x_2 = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -2$

Подбором находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x - x_1)(x - x_2)$. В нашем случае $a=1$, поэтому:

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x - (-1)) = (x-2)(x+1)$.

Теперь подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{(x-2)^2}{(x-2)(x+1)}$

Сократим общий множитель $(x-2)$, учитывая, что $x-2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$. Также из знаменателя следует, что $x+1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

$\frac{x-2}{x+1}$

Ответ: $\frac{x-2}{x+1}$.

2) $\frac{x^2 - 5x}{30 - x - x^2}$

Аналогично предыдущему пункту, разложим числитель и знаменатель на множители.

В числителе $x^2 - 5x$ вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x^2 - 5x = x(x-5)$.

Знаменатель $30 - x - x^2$ – квадратный трехчлен. Для удобства вынесем $-1$ за скобки, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным:

$30 - x - x^2 = -(x^2 + x - 30)$.

Теперь разложим на множители выражение в скобках $x^2 + x - 30$, решив уравнение $x^2 + x - 30 = 0$.

По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -1$

$x_1 \cdot x_2 = -30$

Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Тогда $x^2 + x - 30 = (x-5)(x-(-6)) = (x-5)(x+6)$.

Следовательно, знаменатель исходной дроби равен $-(x-5)(x+6)$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{x(x-5)}{-(x-5)(x+6)}$

Сократим общий множитель $(x-5)$, при условии что $x \neq 5$. Также из знаменателя следует, что $x \neq -6$.

$\frac{x}{-(x+6)} = -\frac{x}{x+6}$

Ответ: $-\frac{x}{x+6}$.

5. Упростите выражение $ \frac{x^2 - 4}{2x^2 + 7x + 5} + \frac{1}{x + 1} $.

Для того чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить несколько шагов. Сначала разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 4$. Это разность квадратов, которая раскладывается по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$

2. Разложим на множители знаменатель $2x^2 + 7x + 5$. Для этого найдем корни квадратного уравнения $2x^2 + 7x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь разложим квадратный трехчлен на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$:

$2x^2 + 7x + 5 = 2(x - (-\frac{5}{2}))(x - (-1)) = 2(x + \frac{5}{2})(x + 1) = (2x + 5)(x + 1)$

3. Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(2x + 5)(x + 1)} + \frac{1}{x + 1}$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x + 5)(x + 1)$. Для этого домножим вторую дробь на множитель $(2x + 5)$:

$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(2x + 5)(x + 1)} + \frac{1 \cdot (2x + 5)}{(x + 1)(2x + 5)}$

5. Сложим дроби:

$\frac{(x - 2)(x + 2) + 2x + 5}{(2x + 5)(x + 1)}$

6. Упростим числитель получившейся дроби:

$(x - 2)(x + 2) + 2x + 5 = (x^2 - 4) + 2x + 5 = x^2 + 2x + 1$

Полученный числитель $x^2 + 2x + 1$ является полным квадратом суммы $(x + 1)^2$.

7. Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(x + 1)^2}{(2x + 5)(x + 1)} = \frac{x + 1}{2x + 5}$

Сокращение возможно при условии $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$, что соответствует области допустимых значений исходного выражения.

Ответ: $\frac{x + 1}{2x + 5}$