Страница 90 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

1. Какой из данных многочленов не является квадратным трёхчленом?

1) $x^2 - 8x - 80$

2) $0,8 - \frac{1}{3}x^2 + 15$

3) $16x^2 - 25$

4) $x^4 - 5x^2 + 6$

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида $ax^2 + bx + c$, где $x$ — переменная, а коэффициенты $a, b, c$ — числа, причём $a \neq 0$. Таким образом, многочлен должен удовлетворять двум условиям:

• Его степень должна быть равна 2 (признак "квадратный").
• Он должен состоять ровно из трёх членов после приведения подобных слагаемых (признак "трёхчлен").

Проанализируем каждый вариант:

1) $x^2 - 8x - 80$ Этот многочлен имеет степень 2 и состоит из трёх членов. Он полностью соответствует определению квадратного трёхчлена.

2) $0,8 - \frac{1}{3}x^2 + 15$ После приведения подобных слагаемых ($0,8 + 15 = 15,8$) многочлен принимает вид $-\frac{1}{3}x^2 + 15,8$. Его степень равна 2, но он состоит из двух членов (является двучленом). Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

3) $16x^2 - 25$ Степень этого многочлена равна 2, но он состоит из двух членов (является двучленом). Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

4) $x^4 - 5x^2 + 6$ Степень этого многочлена равна 4. Он не является квадратным, хотя и состоит из трёх членов. Следовательно, это не квадратный трёхчлен.

В задании требуется найти один многочлен, который не является квадратным трёхчленом. Мы обнаружили три таких многочлена (2, 3 и 4). В таких случаях необходимо выбрать тот вариант, который нарушает наиболее фундаментальное свойство. Степень многочлена является его основной характеристикой. Многочлены под номерами 2 и 3 являются квадратными, но не являются трёхчленами. Многочлен под номером 4 не является квадратным в принципе. Поэтому именно он является правильным ответом.

Ответ: 4

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 + x - 12$

2) $5x^2 - 2x - 5$

3) $x^2 - x + 12$

4) $3x^2 + 15x$

Для того чтобы определить, можно ли квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ разложить на линейные множители, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$), то трёхчлен имеет действительные корни и его можно разложить на линейные множители. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + x - 12$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Поскольку $D = 49 > 0$, данный трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

2) $5x^2 - 2x - 5$
Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 5$, $b = -2$, $c = -5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 4 + 100 = 104$.
Поскольку $D = 104 > 0$, данный трёхчлен имеет два действительных корня, следовательно, его можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

3) $x^2 - x + 12$
Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 1$, $b = -1$, $c = 12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.
Поскольку $D = -47 < 0$, у трёхчлена нет действительных корней, и поэтому его нельзя разложить на линейные множители.
Ответ: нельзя разложить.

4) $3x^2 + 15x$
Это неполный квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители, вынеся общий множитель $3x$ за скобки:
$3x^2 + 15x = 3x(x + 5)$.
Выражение представлено в виде произведения двух линейных множителей. Также можно вычислить дискриминант, приняв $c = 0$: $a = 3$, $b = 15$.
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 225$.
Поскольку $D = 225 > 0$, выражение можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

Из всех рассмотренных вариантов только трёхчлен $x^2 - x + 12$ имеет отрицательный дискриминант. Следовательно, это единственный трёхчлен, который нельзя разложить на линейные множители.
Ответ: 3) $x^2 - x + 12$

3. Разложите на множители квадратный трёхчлен:

1) $x^2 + 14x + 24$;

2) $3x^2 + 10x - 8$.

Чтобы разложить квадратный трёхчлен $ax^2 + bx + c$ на множители, необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ и использовать формулу:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения.

1) $x^2 + 14x + 24$

Сначала решим квадратное уравнение $x^2 + 14x + 24 = 0$.
В этом уравнении коэффициенты: $a=1$, $b=14$, $c=24$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot 24 = 196 - 96 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-14 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$
$x_2 = \frac{-14 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2$
Теперь подставим найденные корни в формулу разложения на множители:
$x^2 + 14x + 24 = 1 \cdot (x - (-12))(x - (-2)) = (x + 12)(x + 2)$.

Ответ: $(x + 12)(x + 2)$.

2) $3x^2 + 10x - 8$

Решим квадратное уравнение $3x^2 + 10x - 8 = 0$.
Коэффициенты: $a=3$, $b=10$, $c=-8$.
Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196$.
Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-10 - 14}{2 \cdot 3} = \frac{-24}{6} = -4$
$x_2 = \frac{-10 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Подставим корни и коэффициент $a=3$ в формулу разложения:
$3x^2 + 10x - 8 = 3(x - (-4))(x - \frac{2}{3}) = 3(x + 4)(x - \frac{2}{3})$.
Чтобы избавиться от дроби в скобках, умножим множитель 3 на второй множитель $(x - \frac{2}{3})$:
$3(x + 4)(x - \frac{2}{3}) = (x + 4) \cdot 3 \cdot (x - \frac{2}{3}) = (x + 4)(3x - 2)$.

Ответ: $(x + 4)(3x - 2)$.

4. Сократите дробь:

1) $\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9}$;

2) $\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2}$.

1)

Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9}$ необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 6x - 27$. Это квадратный трехчлен. Чтобы разложить его, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x - 27 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1$, $b=-6$, $c=-27$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144 = 12^2$.
$x_1 = \frac{6 + 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$.
$x_2 = \frac{6 - 12}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Разложение квадратного трехчлена имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Следовательно, $x^2 - 6x - 27 = (x-9)(x-(-3)) = (x-9)(x+3)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 + 6x + 9$. Это выражение является полным квадратом суммы, так как соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
$x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 6x - 27}{x^2 + 6x + 9} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x+3)^2} = \frac{(x-9)(x+3)}{(x+3)(x+3)} = \frac{x-9}{x+3}$.
Сокращение возможно при условии, что $x+3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Ответ: $\frac{x-9}{x+3}$

2)

Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2}$ необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 - 4x$. Для этого вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x^2 - 4x = x(x-4)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $20 - x - x^2$. Для удобства запишем его в стандартном виде $-x^2 - x + 20$. Найдем корни уравнения $-x^2 - x + 20 = 0$.
Умножим уравнение на $-1$, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным: $x^2 + x - 20 = 0$.
Воспользуемся формулой для нахождения корней через дискриминант: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2 - 4ac$.
Для нашего уравнения $a=1$, $b=1$, $c=-20$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$x_2 = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$.
Разложение квадратного трехчлена $-x^2 - x + 20$ имеет вид $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $a=-1$.
Следовательно, $-x^2 - x + 20 = -(x-4)(x-(-5)) = -(x-4)(x+5)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:
$\frac{x^2 - 4x}{20 - x - x^2} = \frac{x(x-4)}{-(x-4)(x+5)} = \frac{x}{-(x+5)} = -\frac{x}{x+5}$.
Сокращение возможно при условии, что $x-4 \neq 0$, то есть $x \neq 4$.

Ответ: $-\frac{x}{x+5}$

5. Упростите выражение $\frac{x^2}{2x^2 - 3x + 1} - \frac{1}{x - 1}$

Для упрощения выражения $\frac{x^2}{2x^2 - 3x + 1} - \frac{1}{x-1}$ необходимо привести дроби к общему знаменателю. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби $2x^2 - 3x + 1$.

Для этого найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - 3x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Теперь мы можем представить квадратный трехчлен в виде произведения множителей: $a(x-x_1)(x-x_2)$.

$2x^2 - 3x + 1 = 2(x-1)(x-\frac{1}{2}) = (x-1)(2x-1)$.

Подставим полученное разложение в исходное выражение:

$\frac{x^2}{(x-1)(2x-1)} - \frac{1}{x-1}$.

Общий знаменатель для этих дробей — $(x-1)(2x-1)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(2x-1)$:

$\frac{x^2}{(x-1)(2x-1)} - \frac{1 \cdot (2x-1)}{(x-1)(2x-1)} = \frac{x^2 - (2x-1)}{(x-1)(2x-1)}$.

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2 - 2x + 1}{(x-1)(2x-1)}$.

Числитель $x^2 - 2x + 1$ является полным квадратом разности $(x-1)^2$.

Заменим числитель на квадрат разности:

$\frac{(x-1)^2}{(x-1)(2x-1)}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$:

$\frac{x-1}{2x-1}$.

Ответ: $\frac{x-1}{2x-1}$