Номер 2, страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

2. Какой из данных квадратных трёхчленов нельзя разложить на линейные множители?

1) $x^2 + x - 12$

2) $5x^2 - 2x - 5$

3) $x^2 - x + 12$

4) $3x^2 + 15x$

Для того чтобы определить, можно ли квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ разложить на линейные множители, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$), то трёхчлен имеет действительные корни и его можно разложить на линейные множители. Если дискриминант отрицателен ($D < 0$), то трёхчлен не имеет действительных корней, и его нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. Проверим каждый из предложенных вариантов.

1) $x^2 + x - 12$
Для этого трёхчлена коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Поскольку $D = 49 > 0$, данный трёхчлен имеет два действительных корня, а значит, его можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

2) $5x^2 - 2x - 5$
Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 5$, $b = -2$, $c = -5$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 4 + 100 = 104$.
Поскольку $D = 104 > 0$, данный трёхчлен имеет два действительных корня, следовательно, его можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

3) $x^2 - x + 12$
Коэффициенты данного трёхчлена: $a = 1$, $b = -1$, $c = 12$.
Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 1 - 48 = -47$.
Поскольку $D = -47 < 0$, у трёхчлена нет действительных корней, и поэтому его нельзя разложить на линейные множители.
Ответ: нельзя разложить.

4) $3x^2 + 15x$
Это неполный квадратный трёхчлен, который можно разложить на множители, вынеся общий множитель $3x$ за скобки:
$3x^2 + 15x = 3x(x + 5)$.
Выражение представлено в виде произведения двух линейных множителей. Также можно вычислить дискриминант, приняв $c = 0$: $a = 3$, $b = 15$.
$D = b^2 - 4ac = 15^2 - 4 \cdot 3 \cdot 0 = 225$.
Поскольку $D = 225 > 0$, выражение можно разложить на линейные множители.
Ответ: можно разложить.

Из всех рассмотренных вариантов только трёхчлен $x^2 - x + 12$ имеет отрицательный дискриминант. Следовательно, это единственный трёхчлен, который нельзя разложить на линейные множители.
Ответ: 3) $x^2 - x + 12$