Номер 6, страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 8 класс проверочные работы Мерзляк, Якир

6. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 2 больше соответствующих корней уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$.

Пусть $x$ — корень исходного уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$.
Пусть $y$ — корень нового, искомого уравнения.

По условию задачи, корень нового уравнения на 2 больше корня исходного уравнения, то есть $y = x + 2$.
Отсюда можно выразить $x$ через $y$: $x = y - 2$.

Поскольку $x$ является корнем уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$, мы можем подставить в это уравнение выражение $(y - 2)$ вместо $x$ и получим верное равенство. Это позволит нам найти уравнение для $y$.

Подставляем $x = y - 2$ в исходное уравнение:
$(y - 2)^2 + 2(y - 2) - 1 = 0$

Теперь раскроем скобки и приведём подобные слагаемые.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2) + (2y - 4) - 1 = 0$
$(y^2 - 4y + 4) + 2y - 4 - 1 = 0$

Убираем скобки и приводим подобные:
$y^2 - 4y + 4 + 2y - 4 - 1 = 0$
$y^2 + (-4y + 2y) + (4 - 4 - 1) = 0$
$y^2 - 2y - 1 = 0$

Мы получили искомое квадратное уравнение для переменной $y$. Традиционно квадратные уравнения записывают с переменной $x$, поэтому заменим $y$ на $x$.

Дополнительный способ через теорему Виета:

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 + 2x - 1 = 0$. По теореме Виета:
$x_1 + x_2 = -2$
$x_1 \cdot x_2 = -1$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового уравнения. По условию $y_1 = x_1 + 2$ и $y_2 = x_2 + 2$.
Найдем их сумму и произведение:
Сумма: $y_1 + y_2 = (x_1 + 2) + (x_2 + 2) = (x_1 + x_2) + 4 = -2 + 4 = 2$.
Произведение: $y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 2)(x_2 + 2) = x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = -1 + 2(-2) + 4 = -1 - 4 + 4 = -1$.

Новое уравнение имеет вид $y^2 - (y_1+y_2)y + y_1y_2 = 0$.
Подставив найденные значения, получаем: $y^2 - 2y - 1 = 0$.

Ответ: $x^2 - 2x - 1 = 0$